经典功率谱估计1

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1、数字信号处理电气信息工程学院蔡超峰引言对各态遍历随机信号X(n)，自相关函数和功率谱密度均可用时间平均来定义：维纳-辛钦定理：第十三章经典功率谱估计周期图法（直接法）间接法直接法和间接法的关系直接法和间接法估计的质量、直接法的改进经典功率谱估计总结短时傅里叶变换1.周期图法（直接法）周期图法是把随机信号X(n)的N点观察数据xN(n)视为一能量有限信号，直接取xN(n)的DTFT得到XN(ejω)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为对真实功率谱P(ejω)的估计：表示用周期图法估计出的功率谱。因为功率谱密度直接由傅里叶变

2、换得到，所以周期图法又称直接法。自从1965年FFT出现后，该方法就成了谱估计中的一个常用方法。将ω在单位圆上等间隔取值，得由于XN(k)可以用FFT快速计算，所以可以方便地求出。1.周期图法（直接法）比较以下两种计算方法：易知，直接法包含了下述假设及步骤：①把平稳随机信号X(n)视为各态遍历的，用其一个样本x(n)来代替X(n)，并且仅利用x(n)的N个观察值xN(n)来估计功率谱P(ejω)。②从记录到一个连续信号x(t)到估计出，还包括了对x(t)的离散化、必要的预处理（如除去均值和趋势项、滤波等）。1.周期图法（直

3、接法）一个实际的例子（fs=250Hz）：2.间接法间接法的理论基础是维纳-辛钦定理。1958年Blackman和Tukey给出了这一方法的具体实现，即先由xN(n)估计出自相关函数，然后求自相关函数的傅里叶变换得到的功率谱，记之为，并以此作为对P(ejω)的估计，即因为这种方法求出的功率谱是通过自相关函数间接得到的，所以称为间接法，又称自相关法或BT法。当M较小时，上式计算量不是很大，因此该方法是FFT问世之前常用的谱估计方法。与维纳-辛钦定理相比较：2.间接法如果X(n)是各态遍历随机信号，x(n)是其一个样本函数，则

4、自相关函数可定义如下：实际中的信号大多是因果信号，所以上式可以表示为：本章所涉及的都是自相关函数，因此将rx(m)简写为r(m)。如果观察值的个数为有限值，则求r(m)的一种方法为：由于x(n)只有N个观察值，因此对于每一个固定的延迟m，可以2.间接法利用的数据只有N-1-

5、m

6、个，且在0~N-1的范围内，xN(n)=x(n)，所以实际计算时，上式变为：的长度为2N-1，它是以m=0为偶对称的。由偏差的定义可知：2.间接法可以看出：①对于一个固定的延迟

7、m

8、，当N→∞时，，因此是对r(m)的渐进无偏估计；②对于一个固定的N

9、，只有当

10、m

11、<

12、m

13、越接近于N时，估计的偏差越大；③的均值是真值r(m)和一三角窗函数的乘积，w(m)的长度是2N-1。该窗函数对r(m)加权，致使产生了偏差。2.间接法三角窗w(m)：当我们对一个信号做自然截短时，就不可避免地对该数据施加了一个矩形窗，由此矩形窗就产生了加在自相关函数上的三角窗，该三角窗影响自相关函数的估计质量。2.间接法由方差的定义可知：当N→∞时，，又因为，所以，对固定的延迟

14、m

15、，是r(m)的渐进一致估计。2.间接法计算时，如果N和m都比较大，则需要的乘法次

16、数很多。可以利用FFT实现对的快速计算。上式也可以写为：求的离散时间傅里叶变换，得：2.间接法把xN(n)补N个零，得x2N(n)，即：记x2N(n)的傅里叶变换为X2N(ejω)，则有其中X2N(ejω)为有限长信号x2N(n)的能量谱，除以N以后即为功率谱。这说明自相关函数的估计值和x2N(n)的功率谱是一对傅里叶变换。2.间接法利用FFT计算自相关函数的步骤：①对xN(n)补N个零，得x2N(n)，对x2N(n)做DFT得X2N(k)，k=0,1,…,2N-1；②求X2N(k)的幅平方，然后除以N，得；③对做逆变换，

17、得。将中的部分向右平移2N点后形成的序列即为。3.直接法和间接法的关系直接法：间接法：其中自相关函数与x2N(n)的功率谱是一对傅里叶变换：因此有令M=N-13.直接法和间接法的关系由此可知，直接法可以看作是间接法的一个特例，即当间接法中使用的自相关函数的最大延迟M=N-1时，二者是相等的。前面已经指出：这就意味着，当M较大，特别是接近于N-1时，对r(m)的估计偏差变大，此时估计出的功率谱的质量也必然下降。因此，在使用间接法时，都是取M<

18、亦即施加了一个窗函数，记之为v(m)，得：3.直接法和间接法的关系的均值等于真实的自相关函数r(m)乘以三角窗w(m)，这是第一次加窗。该三角窗是由数据截短而产生的，其宽度为2N-1。v(m)是对自相关函数r(m)的第二次加窗，宽度为2M-1，M<