定积分在几何上的应用(V)

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1、5.4.1定积分的元素法问题1、什么问题可以用定积分解决?问题2、如何应用定积分解决问题?回顾曲边梯形求面积的问题一、问题的提出abxyo面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素二、什么问题可以用定积分解决?元素法的一般步骤：三、如何应用定积分解决问题?这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．思考题微元法的实质是什么？思考题解答微元法的实质仍是“和式”的极限.5.4.2平面图形的面积一直角坐标情形二极坐标

2、情形曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、直角坐标系情形解两曲线的交点面积元素选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？例3求由抛物线　　　　与直线　　　所围图形面积.xo(i)取x为积分变量，则(ii)面积元素(iii)所求面积方法18(i)求交点(ii)相应于[-2,4]上任一小区间[y,y+dy]的小窄条面积的(iii)所求面积解yxo例3求由抛物线　　　　与直线　　　所围图形面积.yy+dy方法2近似值，即面积元素比较方法1和方法2知：适当选择积分变

3、量可以简化计算过程。积分变量选择适当,计算就可以简单.一般选择积（2）尽量少分割区域.分变量时应考虑下列因素:（1）原函数较容易求得;如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例5.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:(一)极坐标●1.极坐标系2.极坐标系与直角坐标的关系●面积元素曲边扇形的面积二、极坐标系情形对应从0例6.计算阿基米德螺线解:变到2所围图形面积.解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知求在直角坐标系下、参数方程形式下、极

4、坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结练习题练习题答案5.4.3体积一旋转体的体积二平行截面面积为已知的立体的体积旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积xyo旋转体的体积为解直线方程为x例2解：椭球体积raobxy解利用这个公式，可知例3中例4已知平面图形是由曲线和求此图形绕轴旋转所生成的旋转体的体积．解：0xy问题1：如何切割？2：与x轴垂直横截面是圆还是圆环？3：半径？Rr例4已知平面图形是由曲线和求此图形绕

5、轴旋转所生成的旋转体的体积．解：0xyRr旋转体的体积为两曲线交点为由求得13解体积元素为二、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,例6一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算该平面截圆柱体所得立体的体积.解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积5.4.4平面曲线的弧长一直角坐标情形二参数方程情形三极坐标情形定义:若在弧AB上任意作内接

6、折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):解所求弧长为解例3计算摆线一拱的弧长.解:例4求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为弧线段

7、部分直线段部分以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.