定积分在几何学上的应用(IV)

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1、第八节定积分在几何上的应用第六章定积分的应用建立积分模型的微元法求平面图形的面积求空间立体的体积求平面曲线的弧长与曲率旋转体的侧面积小结思考题作业1究竟哪些量可用定积分来计算呢.首先讨论这个问题.结合曲边梯形面积的计算一、建立积分模型的微元法可知,用定积分计算的量应具有如下及定积分的定义许多部分区间,(即把[a,b]分成两个特点:(1)所求量I即与[a,b]有关;(2)I在[a,b]上具有可加性.则I相应地分成许多部分量,而I等于所有部分量之和)定积分的几何应用2按定义建立积分式有四步曲:“分割、有了N--L公式后,对应用问题来说关键就在于方法简化步骤如何写出被积表达式.得到这个

2、复杂的极限运算问题得到了解决.是所求量I的微分于是,称为量I的微元或元素.取近似、求和、取极限”,定积分的几何应用3元素法或微元法.简化步骤(1)由具体情况选取一个变量,如,为积分变量,并确定它的变化区间求出这一小区间上的部分量的近似值,即记为:(3)以为被积表达式在上作定积分,得:这种简化了的建立积分式的方法称为定积分的几何应用4这个小区间上所对应的小曲边梯形面积面积元素(3)得曲边梯形面积的积分式也可以用元素法建立如下.近似地等于长为f(x)、宽为dx的小矩形面积,故有(1)选x为积分变量,定积分的几何应用5二、求平面图形的面积回忆的几何意义:曲边梯形的面积.启示一般曲线围成

3、区域的面积也可以用定积分来计算.定积分下面曲线均假定是连续曲线.注定积分的几何应用6求这两条曲线及直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA为它对应(1)即1.直角坐标系中图形的面积选x为积分变量,定积分的几何应用7(2)如果的相对位置不定,则(3)特别时,有注意:此时的A表示图形的面积真值,而表示曲边梯形面积的代数和.定积分的几何应用8例1求由抛物线与直线所围成的图形的面积.定积分的几何应用9(4)由曲线和直线所围成的区域的面积A.它对应的面积元素dA为选y为积分变量,定积分的几何应用10(5)设所给曲线由参数方程给出:上有连续导数,则=====关键:定积分的几何应用11例2求摆

4、线(旋轮线)与x轴所围成图形的面积.解面积作变量代换说明:摆线一拱的面积等于其母圆面积的三倍.定积分的几何应用12分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别(6)一般情况下,由曲线围成的有界区域,总可以算出每块的面积再相加即可.(2)(1)(1)(2)定积分的几何应用13面积元素曲边扇形的面积2.极坐标下平面图形的面积由极坐标方程给出的平面曲线所围成的面积A.和射线曲边扇形定积分的几何应用14解利用对称性知例3求心形线所围成图形的面积.定积分的几何应用15例4求由圆和双纽线所围成的公共部分的面积.交点定积分的几何应用16例5求由所围成图形的面积.注意:求封闭曲线所围成图形的面积时

5、,1.先分析对称性;2.找与坐标轴的交点;3.利用极坐标.定积分的几何应用17圆柱圆锥圆台三、求空间立体的体积旋转体这直线叫做旋转轴．由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．1.旋转体的体积定积分的几何应用18旋转体的体积采用元素法如果旋转体是由连续曲线直线及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,体积为多少?取积分变量为x,为底的小曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积元素(1)定积分的几何应用19解体积元素例6取积分变量为x,oxy定积分的几何应用20如果旋转体是由连续曲线及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,体积为多少?(2)直线体积元素旋转体的体积

6、定积分的几何应用21例7求由和y轴所围成图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积.注意:定积分的几何应用22解例8求摆线的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.绕x轴旋转的旋转体体积变量代换定积分的几何应用23绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成的旋转体的体积之差.摆线令定积分的几何应用24例9求由曲线与x轴所围的图形分别绕x轴和y轴及y=1旋转而成的立体的体积.定积分的几何应用25或,选x为积分变量,(3)平移坐标定积分的几何应用26解取坐标如图所示.圆的方程为oxyR•和下半圆下的曲边梯形两个旋转体的体积之差.例10所求圆环体

7、可看成是上半圆下的曲边梯形绕x轴旋转一周.定积分的几何应用27对称性四分之一圆面积定积分的几何应用282.平行截面面积为已知的立体的体积上垂直于一定轴的各个截面面积,立体体积如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体的体积也可用定积分来计算.那么,这个立体表示过点x且垂直于x轴的截面面积,为x的已知连续函数.采用元素法体积元素定积分的几何应用29解取坐标系如图底圆方程例11一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得立体的体积.垂直于x轴的截面为直角三角