常微分方程二阶线性微分方程习题

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1、定理1线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程定理2线性无关解，齐次方程通解：非齐次方程通解：定理4定理3定理51例1都是方程:求此方程的通解.的解,二阶线性微分方程齐次方程的特解.非齐次线性方程的两个特解之差是对应非齐次方程的通解：齐次线性方程的通解：解线性无关.2(3)根据特征根的不同情况，得到相应的通解。(1)相应的特征方程,(2)求特征根，二阶常系数齐次线性方程特征根的情况通解的表达式实根实根复根二阶线性微分方程3解特征方程通解：例2特征根二阶线性微分方程4解特征方程通解：例3特征根二阶线性微分方程5例4解初值问题解特征方程特征根方程的通解：(二

2、重根)特解二阶线性微分方程6例5求方程解的通解.特征方程所求通解:特征根和二阶线性微分方程7特征根所求通解:解特征方程例6二阶线性微分方程8解：特征根求微分方程的通解.特征方程二阶常系数齐次线性方程通解或:设例7二阶线性微分方程9不是根是单根是重根二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性方程10解对应齐次方程通解特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解(2)求非齐次方程的解例8二阶线性微分方程11代入方程,原方程通解：对应齐次方程通解二阶线性微分方程例812解对应齐次方程通解特征方程特征根例9(1)求对应齐次方程的通解(2)求非齐次方程的特解二

3、阶线性微分方程13代入方程,得原方程通解：对应齐次方程通解二阶线性微分方程例914解对应齐次方程通解特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解例10二阶常系数线性非齐次方程二阶线性微分方程15(2)求非齐次方程的特解(3)求原方程的特解原方程通解：例10二线性微分方程16提示根椐线性微分方程的性质,两个特解的和就是原方程的特解.特解。的一个是微分方程1)(+=-¢¢xeyy练习二阶线性微分方程17微分方程的特解解特征方程特征根对应的齐次微分方程练习xexyyy2323-=+¢-¢¢xyyy323=+¢-¢¢xeyyy223-=+¢-¢¢023=+¢-¢¢

4、yyy二阶线性微分方程18练习是二阶常系数微分方程满足初始条件的特解,函数的极限(A)不存在.(B)等于1.(C)等于2.(D)等于3.解)(xyy=设xeqyypy3=+¢+¢¢0)0()0(=¢=yyxeqyypy3)0()0()0(=+¢+¢¢二高阶线性微分方程19解两端再对x求导,积分方程微分方程积分方程二阶常系数非齐次线性方程.练习二阶线性微分方程20(1)验证函数满足微分方程(2)求幂级数解(1);xeyyy=+¢+¢¢练习二阶线性微分方程21解(2)相应的齐次微分方程特征方程特征根xeyyy=+¢+¢¢,0=+¢+¢¢yyy非齐次方程的特

5、解：代入方程通解二阶线性微分方程22解特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解(二重)练习二阶线性微分方程23(2)求非齐次方程的特解原方程通解：◆特征根不是特征根.代入方程二阶线性微分方程24原方程通解：◆特征根是二重特征根.代入方程二阶线性微分方程25