泰勒级数与洛朗级数(I)

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1、2.幂级数的分析性质即(3)在收敛圆内可以逐项积分，即(1)函数在收敛圆内解析。设性质则(2)函数的导数可由其幂函数逐项求导得到，三、幂级数的性质P871解利用逐项求导性质把函数例表示成形如的幂级数。2解利用逐项求导性质把函数例表示成形如的幂级数。(1)(2)3§4.3泰勒级数一、泰勒(Taylor)定理二、将函数展开为泰勒级数的方法4z0DC一、泰勒(Taylor)定理则当时，有定理设函数在区域D内解析，C为D的边界，其中，RP88定理4.6注(1)对于一个给定的函数，在给定点处的泰勒展开式是唯一的。5z0DC一、泰勒(Taylor)

2、定理则当时，有定理设函数在区域D内解析，C为D的边界，其中，RP88定理4.6注(2)解析函数在圆域上展开为幂级数，而不是在整个解析区域D上。6z0DC一、泰勒(Taylor)定理则当时，有定理设函数在区域D内解析，C为D的边界，其中，RP88定理4.6注(3)函数在一点解析的充要条件是它在这点的领域内可以展开为幂级数。7z0DC一、泰勒(Taylor)定理则当时，有定理设函数在区域D内解析，C为D的边界，其中，RP88定理4.6注(4)在区域若函数内有奇点，则显然，该奇点正好在收敛圆周上。其中，为的奇点中距离展开点最近的一个奇点。P8

3、9说明(2)8二、将函数展开为泰勒级数的方法1.直接展开法利用泰勒定理，直接计算展开系数将函数在点展开为幂级数。例解P90例4.69二、将函数展开为泰勒级数的方法1.直接展开法利用泰勒定理，直接计算展开系数同理可得10二、将函数展开为泰勒级数的方法2.间接展开法根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。两个重要的已知展开式11(1)解将函数分别在点展开为幂级数。例P92例4.11修改12(2)解将函数分别在点展开为幂级数。例P92例4.11修改13(1)解(2)将函数例在点展开为幂级数。14

4、解将函数例在点展开为幂级数。15§4.4洛朗级数一、含有负幂次项的“幂级数”二、洛朗(Laurent)定理三、将函数展开为洛朗级数的方法16一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析设想这样一来，在整个复平面上就有若，有从而可得17一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析启示如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。在引入了负幂次项以后，“幂级数”的收敛特性如何呢？下面将讨论下列形式的级数:洛朗级数18一、含有负幂次项的“幂级数”分析2.级数的收敛

5、特性将其分为两部分：正幂次项部分与负幂次项部分。(A)(B)(1)对于(A)式，其收敛域的形式为(2)对于(B)式，其收敛域的形式为根据上一节的讨论可知：19一、含有负幂次项的“幂级数”结论2.级数的收敛特性(1)如果级数收敛，则其收敛域“一定”为环域：①如果只含正幂次项(或者加上有限个负幂次项)，特别地则其收敛域为：或②如果只含负幂次项(或者加上有限个正幂次项)，则其收敛域为：20一、含有负幂次项的“幂级数”结论2.级数的收敛特性(1)如果级数收敛，则其收敛域“一定”为环域：而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。(2)级数在收敛域

6、内其和函数是解析的,下面定理将给出如何将一个函数在其解析环域内展开为上述形式的级数。21R2z0R1D二、洛朗(Laurent)定理设函数在圆环域定理C为在圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。解析,内在此圆环域中展开为则一定能其中，证明(略)zCP94定理4.722注(1)洛朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为洛朗级数二、洛朗(Laurent)定理的解析部分和主要部分。(2)一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项的级数是唯一的。(3)若函数在圆环内解析，则在在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式。23三、将函数展开为洛朗级数的方法1.

7、直接展开法根据洛朗定理，在指定的解析环上R2zz0R1CD直接计算展开系数：有点繁！有点烦！24三、将函数展开为洛朗级数的方法根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。两个重要的已知展开式2.间接展开法25解在内展开成洛朗级数。例把函数26三、将函数展开为洛朗级数的方法都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前，注意的展开区域)分为若干个解析环。比如设函数的奇点为展开点为则复平面被分为四个解析环：r1r2r32712函数有两个奇点：以展开点

8、为中心，将复平面分为三个解析环：解(1)将复平面分为若干个解析环①②③(2)根据需要将函数进行适当的分解变形P97例4.13将函数例在点展开为洛朗级数。28解12①当时，(3)将函数在每个解析环内分别展开将