(事件的概率与古典概率、几何概率)

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1、概率论与数理统计第二讲§1.2事件的概率一频率与概率的统计定义二概率的公理化定义与概率的性质§1.3古典概率模型一古典概率模型及其事件概率求法二几何概率（补充）§1.2事件的概率1.2.1概率的统计定义1.频率设A是一个事件,在相同条件下进行n次试验，A发生了m次.则称m为事件A在n次试验中发生的频数或频次，称m与n之比m/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A).度量事件A在试验中发生的可能性大小的数叫概率,记为P(A).(1)0≤fn(A)≤1；(2)fn(Ω)=1,fn(Ø)=0；(3).若事件A1,A2,…,Ak两两互斥，则:频率

2、性质考虑在相同条件下进行的k组试验事件A在各组试验中的频率形成一个数列频率稳定性是指：各组试验次数n1,n2…,nk充分大时，在各组试验中事件A出现的频率间、或频率与某定值相差很小.稳定在概率p附近当试验次数充分大时，事件A在每组试验中的频率总在某一个数附近来回摆动，且试验次数越多，摆动的幅度越小.该性质称频率的稳定性.在n次重复试验中，A的频率fn(A)随试验次数n的增加而在[0,1]上的某个数p附近来回摆动，且n越大，摆动的幅度越小，称p为A的概率，记为P(A),即P(A)=p.2.概率的统计定义注意：统计定义没有给出定义概率的方法，因为不可能依

3、该定义确切地给出任一事件的概率.但其重要性在于频率在一定程度上反映了事件在一次试验中发生的可能性大小.尽管每进行的n次试验，所得到的频率可能各不相同,但只要n足够大，频率就会非常接近一个固定值——概率.在实际问题中，当概率不易求时，人们在试验次数很大情况下，常用事件的频率作为概率的估计.例如:若需了解某射箭运动员中10环的概率，应对该运动员在相同条件下的多次射箭情况进行观测、统计.假设其射击n次，中10环m次，当n很大时，就m/n作为其命中10环的概率.又如：进行产品检验时，如果检验了n件产品,其中m件为次品，则当n很大时，可用m/n作为产品的次品率

4、(概率)的估计值.1933年，前苏联数学家(概率统计学家)柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)给出了概率如下公理化定义.1.2.2概率的公理化定义I.定义概率的公理化定义(2)P(Ω)=1;(3)若事件A1,A2,…两两互斥，则有设Ω是随机试验E的样本空间，对Ω中的任一事件A，定义一个实数P(A)，如果事件(集合)函数P(A)满足下述三条:(1)P(A)≥0；则称P(A)为事件A的概率.注意：这里的函数P(A)与以前所学过的函数不同.不同之处在于：P(A)的自变量是事件(集合).不难看出：这里事件概率的定义是在频率性质的基础之上提出的.在§5.2中,

5、我们将看到：频率fn(A)在某种意义下收敛到概率P(A)的结论.基于这一点，我们有理由用上述定义的概率P(A)来度量事件A在一次试验中发生的可能性大小.II.概率的性质1.P(Ø)=0，即不可能事件的概率为零；2.若事件A1,A2,…,An两两互斥，则有：P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+…+P(An),即互斥事件和的概率等于它们各自概率之和(有限可加性)；4.对于事件A和B，有P(A-B)=P(A)-P(AB).推论1若BA，则P(A-B)=P(A)-P(B).推论2若BA，则P(B)≤P(A).3.对任一事件A,均有证明：5.对任意两个

6、事件A、B，有因AB，A－AB，B－AB两两互斥，且由概率的可加性，有P(A∪B)=P(AB∪(A－AB)∪(B－AB))=P(AB)+P(A－AB)+P(B－AB）=P(AB)+P(A)－P(AB)+P(B)－P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB).A∪B=AB∪(A－AB)∪(B－AB)，说明n个事件和的公式特别地，n=3时，有例1解例2解小结本节首先介绍频率的概念，指出在试验次数充分大的情况下，频率接近于概率的结论；然后给出了概率的统计定义与公理化定义及概率的主要性质.§1.3古典概率与几何概率I.什么是古典概率模型如果试验E满足1.3.1

7、古典概率(2)各种结果出现的可能性相同.称这样的试验模型为等可能概率模型或古典概率模型，简称等可能概型或古典概型.(1)试验的结果只有有限种；II.古典概率模型中事件概率求法因试验E的结果只有有限种，设样本空间Ω={1，2，…，n}{i}是基本事件，两两互斥，且P(1)=P(2)=…=P(n).于是从而，P(i)=1/n，i=1,2,…,n.1=P(Ω)=P(1∪2∪…∪n)=P(1)+P(2)+…+P(n)=nP(i),i=1,2,…,n.因此，若事件A包含k个基本事件，即则III.古典概模型举例例1解例2货架上有外观

8、相同的商品15件，其中12件来自产地甲,3件来自地乙.现从15件商品中随机抽取两件,求这两件商品来自同一产地