概率论与数理统计学试卷及答案2

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1、一．（本题满分10分）将个球随机地放入个杯子中．令表示杯子中球的最大个数．求：⑴的分布列；⑵与．解：⑴的可能取值为．且．．．所以，随机变量的分布列为⑵．．因此，．二．（本题满分10分）设随机变量的密度函数为现对进行独立重复地次观察，令表示观察值大于的次数．求．解：设，则．第10页共10页由于随机变量表示在重Bernoulli试验中随机事件发生的次数，因此．所以，，．所以，．三．（本题满分10分）假设只考虑天气的两种情况：有雨或者无雨．若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为，变的概率为．设第一天无雨，试求第天也无雨的概率．解：设，并记，．则

2、有，，．由全概率公式，得．于是得第10页共10页．因此有，．四．（本题满分10分）记掷颗均匀的骰子点数之和为，求与．解：以表示掷第颗均匀的骰子出现的点数，，则随机变量相互独立，而且同分布，．的分布列为所以，．所以，．因此，．再由的相互独立性，得．五．（本题满分10分）设为维随机变量，其协方差矩阵存在．证明：如果，则以概率在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为的实数，使得．第10页共10页证明：如果阶矩阵的行列式，所以元齐次线性方程组有非零解．取其一个非零解，即有．因此有，．所以而一个随机变量的方差为零的充分必要条件是该随机变量以概率等于一个常

3、数，即存在常数，使得．六．（本题满分10分）设总体，及都是取自该总体中的两个样本，并且相互独立．再设是样本第10页共10页的样本均值，是样本的样本均值．求．（附：标准正态分布分布函数的部分数值表证明：因为总体，所以，．再由于相互独立，因此有，即．所以，．七．（本题满分10分）设随机变量，证明：当时，随机变量依分布收敛于标准正态分布．（提示：如果，则的特征函数为．）证明：第10页共10页由于，所以的特征函数为．令，则．两边取对数，得，．所以，，．而恰是标准正态分布的特征函数，因此由极限定理知，当时，随机变量依分布收敛于标准正态分布．八．（本题满分2

4、0分）设总体，其中为未知参数，是从该总体中抽取的一个样本．⑴求未知参数的极大似然估计量；⑵判断上面所求的是否为未知参数的无偏估计量；第10页共10页⑶判断上面所求的是否为参数的充分统计量；⑷判断上面所求的是否为参数的完备统计量；⑸求未知参数的一致最小方差无偏估计量（UMVUE）．解：⑴总体的密度函数为．因此参数的似然函数为．由于最大似然估计是求似然函数的最大值点，所以由本题似然函数的构造：．知，当越小时，似然函数的值越大；另一方面，参数还必须满足条件：即．因此当我们取时，就得到参数的极大似然估计量为．⑵由于最大顺序统计量的密度函数为．所以，，所以

5、，是参数的有偏估计量．⑶样本的联合密度函数为第10页共10页其中，．因此，由因子分解定理知，是参数的充分统计量．⑷由于最大顺序统计量的密度函数为．所以，如果随机变量满足（对一切），即（对一切），上式两端对求导，得（对一切），因此，（对一切），因此，我们有（对一切）这表明，最大顺序统计量是参数的完备统计量．⑸由前面所证，是参数的充分完备统计量．又第10页共10页是未知参数的无偏估计．而且它是充分完备统计量的函数，因此，由Lehmann-Scheffe定理可知，是未知参数的一致最小方差无偏估计．九．（本题满分10分）设总体，其中与都未知，，，是取自该

6、总体中的一个样本．对于给定的显著性水平，试求检验假设．的拒绝域．解：取检验统计量．当成立，且时，．当原假设成立时，由观测值可知比值应当大于1，因此比值应当比较大；反之，如果我们通过样本观测值，发现偏小，自然就有理由认为不成立．于是，拒绝域可以取作形如．对给定的显著性水平，当成立，并且时，由，故取临界值．即有，对任意成立．第10页共10页因此，我们得到当时，显著性水平下的一个检验的拒绝域．当原假设成立，且时，有．而且当原假设成立，且总体为时，有，所以此时有，，对任意成立．因此原假设的拒绝域为．第10页共10页