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1、矩阵代数式计算矩阵代数式与代数式计算法则不同(用矩阵代替实数)。§1矩阵基本运算1矩阵加法从两个矩阵加到每一个对应元素加法。元素之间的加法互相不影响，所以遵守实数加的一切规律。.1加法零元.2逆元，称B为A的加法逆元.3交换律.4结合律2矩阵数乘每个元素数量乘相同的数。数量乘法式集合。.5数乘不变元.6交换律.7结合律说明：因为是数乘，所以只能在数的计算上符合结合律，而不出现矩阵乘法。.8数乘对矩阵加法的分配律.9数加对矩阵数乘的分配律说明：矩阵加法与数乘称为矩阵线性运算，并且符合交换，结合，分配律。从加法逆元与数乘
2、可得，矩阵减法.103矩阵乘法不满足交换律,矩阵乘法分为左乘右乘。.11乘法不变元.12矩阵乘法结合律.13数乘的结合律.14矩阵乘法对加法的左乘分配律：.15矩阵乘法对加法的右乘分配律：说明：1)分配律在异号间，不存在不同阶同号间。2)根据多项式等式有.16.17.182),且A不是对称阵，则B是数量阵（不是对角阵）。3)是A的行矩阵和B的列矩阵相乘，是B的行矩阵和A的列矩阵相乘.因此如果A,B的行向量和列向量都相等，那么。4)矩阵代数式与等式仍可使用移项，合并同类项等计算方法。5)向量可看作单行矩阵：4矩阵的转置
3、(行作用与列作用交换).19与A的关系：.20转置与加法的关系：.21转置与数乘的关系：.22转置与乘法的关系：说明：，称为对称矩阵。.23对称矩阵。5方阵的幂.24(m,n非负数).25.说明：1涉及实数加，实数乘的计算都可交换。.26矩阵多项式乘法可交换x的m次多项式:若A为n阶矩阵用A代替变量x，则有称为矩阵的m次多项式(以矩阵A为自变量的多项式)。说明：1矩阵也有类似向量的线性组合式，矩阵的线性组合式是一类复合运算。矩阵的多项式是另一类复合运算。但是向量没有多项式，所以只有正方形（立方体）一类的数据结构（矩阵
4、—正方形，一个数）有多项式计算。2矩阵幂的复合计算遵守实数代数式法则。但是，所以有些式子不能直接使用结果。在代数式里，矩阵可视为一个数看，因此矩阵具有整体数量性。可用行列式计算。§2矩阵求逆与矩阵的数量二．行列式行列式不能看作矩阵的行列式计算，应该看成排列的（有顺序的，用顺序决定符号）计算式。行列式的表示是简化表示。行列式的值是一个数。求解行列式有四类方法。1低阶用定义。2特殊矩阵的行列式，用特殊计算方法。3行列式展开定理。4利用矩阵的性质化简再计算行列式。行列式的计算性质可在2~4中使用。方法2.27上（下）三角行
5、列式的值等于主对角线元素的乘积。.28副对角线行列式,增加符号:.定理 行列式的性质1行列互换,行列式的值不变.用矩阵计算表示:.2互换行列式的两行(或两列),行列式的值反号(序列的符号).---1推论1：有两行（列）相同的行列式值为0。3行列式,某一行(列)的所有元素都乘以数k,等于k乘以此行列式(定义).---2推论1：有一行（列）元素为0，则行（列）式为0。推论2如果行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式值为0.（元素顺序变化影响正负号）4如果行列式的某一行(列)的所有元素是两个元素之和,则此行列式等于两个行
6、列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别对应两个相加元素之一,其余各行(列)的元素与原行列式相同.(定义)5把行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变.----3(3个矩阵初等变换的行列式)说明:1行列式0,不仅仅是数量0,还有分布导致的数量0.所以,这个0行列式，可有不同的形式，可以是A中任意相等的两行，或者有一行全部为0。数量0可有不同的形式。2某一个行(列)就是全部数列项的同一个位置上的数,尽管没有列出式子,对计算式的全部式子有了解,但是集中考虑这一行(列)的数就
7、能知道这一行(列)对计算结果的影响.方法2.29范德蒙行列式(n>1);.30三角矩阵的加法行列式方法4(方阵有行列式).30,,.31.32分块矩阵的行列式:伴随矩阵与逆矩阵定义式：两个级别1矩阵结构的逆，称为伴随矩阵2矩阵数量的逆求逆矩阵的方法1低阶:伴随矩阵,当年n=2时,有.2特殊矩阵,.3逆矩阵的计算性质，，,,4分块求逆:若A能分块为以下类型之一时:5初等矩阵变换法(n>2)即§3．矩阵的线性变换等价变换可逆矩阵的等价变换一个n阶可逆矩阵A，它一定可以经过一系列的行初等变换化成单位矩阵，用矩阵表示：即：，
8、A是一系列矩阵的连乘积。合同变换定义式：方针A，B合同，存在可逆矩阵C，使实对称矩阵A正定的充要条件：存在可逆矩阵C，使说明：正定的实对称矩阵。§4矩阵的相似变换矩阵的相似变换（两端）定义式：常量矩阵(如同没有运算一样,保持不变.相似变换对数量矩阵没有影响.)A的复合表示形式的相似变换：.1线性计算式：.2矩阵乘法式：相似变换符合对矩阵线性计算
