级数概念与正项级数

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1、无穷级数第7章常数项级数的概念和性质第一节一、常数项级数的概念等差数列：等比数列：无穷数列：级数：定义：给定一个数列无穷级数:叫做级数的一般项(通项),n次部分和:部分和数列:当级数收敛时,称差值为级数的余项则称无穷级数发散.收敛,则称无穷级数记作(误差).例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散

2、.例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和二、无穷级数的基本性质性质1.性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为比如:说明:(2)敛+散不一定发散.例如,(用反证法可证)(1)敛+敛=敛(性质2)=发散由性质2知,矛盾!(3)散+散性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.比如:收敛!发散!性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则

3、新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,因此必有例如机动目录上页下页返回结束注:1逆否命题:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.2收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但例如，发散.或加刮号后的级数收敛,原级数不一定收敛三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证:逆否:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.例判断敛散性例:判断收敛与否机

4、动目录上页下页返回结束解(1)原式=(2)原式=五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法第二节常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和数列有界.则称为正项级数.定理2(比较审敛法)(1)若大则小(2)若小则大则有收敛,也收敛;发散,也发散.例1.讨论p-级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,因为当故考虑大级数的部分和故大级数收敛,由比较审敛法知p-级数收敛.时,2)若调和级数与p-级数是两个常用的比较级数.证明级数发散.例2

5、.定理3.(比较审敛法的极限形式)设两正项级数满足则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞(1)当0

6、审敛法)(1)若大则小(2)若小则大则有收敛,也收敛;发散,也发散.例1.讨论调和级数的敛散性.解:例2.讨论p-级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,,由比较审敛法知p级数收敛.2)若重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.证明级数发散.例2.定理3.(比较审敛法的极限形式)设两正项级数满足则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞(1)当0

7、散;(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.比如:发散!发散!的敛散性.～例3.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知例4.判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～证明收敛发散比值审敛法的优点:不必找参考级数.注意:解比值审敛法失效,改用比较审敛法级数收敛.四、小结正项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法3.按基本性质;思考题思考题解答由比较审敛法知收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛第四节任意项级数，绝对收敛一、

8、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足机动目录上页下页返回结束证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故机动目录上页下页返回结束收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛机动目录上页下页返回结束二、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若收敛,绝对收敛；则称原级数机动目录