线性空间及线性变换

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1、第六章线性空间及线性变换一、基本概念和重要结果1.空间的直和我们用W=V1+V2记子空间V1与V2的和,用W=V1△V2记W是V1与V2的直和.(1)W=V1△V2当且仅当W=V1+V2,对任意的有,其中,i=1,2,且表示法是唯一的.(2)W=V1△V2当且仅当W=V1+V2且零向量的表示法是唯一的.(3)W=V1△V2当且仅当W=V1+V2且V1∩V2={0}.(4)W=V1△V2当且仅当W=V1+V2且W的维数=V1的维数+V2的维数.(5)若是线性空间V的一组基,则其中表示由生成的子空间.(6)若W=

2、V1+V2且V1与V2正交,则W=V1△V2.上面的结论可推广到多个子空间的情况.(7)设线性变换/A的特征多项式为:则V可分解为A的不变子空间的直和V=V1△V2△…△Vs,其中:是A属于的根子空间.2.子空间的性质我们用dimV表示线性空间V的维数.(1)设V1和V2是线性空间V的子空间,则dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2).(2)设V1,V2,…,Vm是线性空间V的真子空间,则必存在,使,(3)设V1=L(u1,u2,…,um),v1,v2,…,vr是V1中的r个线性无关

3、的向量,且r

4、=1,2,…,d是V1∩V2的一组基,V1∩V2的维数等于d=k+l-r.4.线性变换的值域与核线性变换/A的值域,/A的核/A-1(0)={y

5、y∈V,/Ay=0}.(2)dim/AV+dimA-1(0)=dimV.(4)/AV和/A-1(0)都是线性变换/A的不变子空间.(5)/A与/B可换,则/B的核与值域也是/A的不变子空间.(1)dim/AV=A的秩,,其中是线性空间V的一组基.(3)设是/AV的一组基且,1≤i≤r,则V=/A-1(0)△.一般地V不等于/AV与/A-1(0)的直和.5.不变子空间

6、(1)线性空间V的子空间W是线性变换/A的不变子空间当且仅当对任意的有.(3)不变子空间的和与交是不变子空间.(4)任一空间是数乘变换的不变子空间.(6)设V1是线性变换/A的不变子空间,则对任一多项式f,V1是f(A)的不变子空间.(8)V1是线性变换/A和/B的不变子空间,则它也是/A+/B及/A/B的不变子空间.(2)设是线性变换/A的特征根,则A属于的特征子空间是A的不变子空间.(5)设W是线性空间V的子空间且,则W是A的不变子空间当且仅当,i=1,2,…,r.(7)设/A和/B是线性变换且/A/B=

7、/B/A,是/A的特征子空间,则也是/B的不变子空间.二、基本方法1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1△V2只要证明以下两点:(1)V1∩V2={0};(2)dimV=dimV1+dimV2.3.证明多个子空间的和是直和,一般采用零向量的表示方法是唯一的.4.几种常见的线性空间:2.求线性空间V的基与维数,可先找到V的一个生成元组,然后证明线性无关.(1)数域P上的线性空间Pn,dimPn=n,是Pn的一组基,其中=(0,…,1,…,0),i=1,2,…,n.(2)数域P上的线性空间Pm×n,

8、dimPm×n=mn,Eij,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n是Pm×n的一组基,其中Eij是第i行第j列的元素为1,其余元素为0的m×n矩阵.(3)数域P上的线性空间P[x]n,dimP[x]n=n.1,x,x2,…,xn-1是P[x]n的一组基.5.求线性变换的特征值与特征向量的方法:(1)取定V的一组基,写出在这组基下的矩阵A.(2)求出

9、E-A

10、在数域P中的全部根,它们就是的全部特征值.(3)对每个特征值,解齐次线性方程组(E-A)X=0,求出一组基础解系,它们就是属于这个特征值的几个线性无关的

11、特征向量在基下的坐标.注意:在解方程

12、E-A

13、=0时,最好能分离出关于的因式,否则可用求整系数的有理根的方法求它的根.(一般地,A的元素是整数).三、例题考点1：线性空间的定义、维数与基,坐标变换解:(1)显然只要验证对加法和数乘封闭即可.例6.1.1(西安交通大学,2004年)设A∈Rn×n(R表示实数域)记S(A)={Z

14、AZ=ZA,Z∈Rn×n}(1)证明:S(A)为Rn×n的子空间.(2)若