计算方法常微分方程求解

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1、常微分方程数值解考虑一阶常微分方程的初值问题:只要f(x,y)在[a,b]R1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述问题存在唯一解。要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0

2、阶精度。欧拉法的局部截断误差：欧拉法具有1阶精度。隐式欧拉法))(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式欧拉公式，而前者称为显式欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。隐式欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有1阶精度。梯形公式—显、隐式两种算法的平均局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，计算量大。改进欧拉法Step1:先用显式欧拉公式作预测，算

3、出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy注：此法亦称为预测-校正法。可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。另外，它的稳定性高于显式欧拉法。龙格-库塔法建立高精度的单步递推格式。单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。考察改进的欧拉法，可以将其改写为：首先希望能确定系数1、2、p，使得到

4、的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开将改进欧拉法推广为：),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+llStep2:将K2代入第1式，得到Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较要求，则必须有：存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。注意到，就是改进的欧拉法。为获得更高的精度，进一步推广其中i(i=1,…,m)，i(i=2,…,m)和ij(i=2,…,m;j=1,…,i1)均为待定系数，确定

5、这些系数的步骤与前面相似。)...,(......),(),(),(]...[1122112321313312122122111--++++++=+++=++==++++=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyybbbabbaballl最常用为四级4阶经典龙格-库塔法：收敛性与稳定性收敛性定义若某算法对于任意固定的x=xn=x0+nh，当h0(同时n)时有yny(xn)，则称该算法是收敛的。例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。解：该问题的精确解为欧拉公式为对任意固定的x=

6、xi=ih，有稳定性定义若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都不会增长，则称该算法是稳定的。一般来说，隐式欧拉法的稳定性比同阶的显式法的好。