节省解题力量开发解题智慧

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1、32中学数学教学参考2000年第11期思想#方法#技巧节省解题力量开发解题智慧陕西师范大学数学系罗增儒222笔者在文[1]P.129/解题过程的长度分f1=g2-f2,析0中说过,解题力量是指解题的物质基础,包222f2=g3-f3,»括数学知识与数学方法;解题智慧是指准确地,,认识问题和创造性地解决问题的能力.对于一222fn=g1-f1.道给定的题目来说,其难度是客观存在的,所文[2]认为,定理(及其推论)/反映了一类投入的解题力量越大,所表现出来的解题智慧无理式与有理式之间的等价关系,也体现了将就越少;反之,若所付出的解题力量越小,所表复杂问题转化为简单问题、将陌生问题转化为现出来的解题

2、智慧就越大.特别有现实意义的熟悉问题的数学思想.就其证明方式而言,用不等式证明等式,也说明了辩证思想在数学中是:的应用,因此,撇开其使用价值不谈,就其本身(1)当题目的难度较大,而解题力量又较而言,也是具有一定意义的命题.0小时,解题智慧具有决定性的作用,它可以/精下面是文[2]的第1个例子及求解.神化物质0,弥补解题力量的不足,完成解题,例1解方程这就是智慧的价值.222x4-y-y9-z-z9-x=11.(2)当解题难度固定时,我们可以通过减解:^4+9+9=22,符合¹式.少解题力量来开发解题智慧,比如使用较易、当0[x[3,-2[y[0,-3[z[0时与较少的数学知识,使用较浅显、较简

3、捷的解题22x+y=4,¼方法,这就是开发解题智慧的途径.22y+z=9,½本着节省解题力量、开发解题智慧的精22z+x=9.¾神,我们来分析一篇新近发表的文章.同解.由¼、½、¾得文[2]曾给出解无理方程的一种方法,其x2+y2+z2=11.¿根据是如下的定理(及两个推论):¾与¿,½与¿,¼与¿分别可得定理设0[f222i[gi(i=1,2,,,n),则x=2,y=2,z=7.22+f22结合上述隐含条件解得原方程的解为f1g2-f22g3-f3+,1nx=2,y=-2,z=-7.222+fng1-f1=Egi¹2i=1评析:作为定理的第1个应用.我们首先222f1+f2=g2,看到一个局

4、限性,那就是需先检验条件0[fi222[gf2+f3=g3,i(i=1,2,,,n),其中fi[gi是开方运算Zº,,所要求的,这即/隐含条件0.而fi在所给的f222方程中并未注明,这就产生一个问题.当-3[n+f1=g1.在证明这个命题时,使用了不等式AB[x<0或0

5、2x4-y-y9-z-z9-x(2)另解的求解过程比较完善,不会留下x2+(4-y2)(x-4-y2)2任何逻辑疑点,也不需要事先讨论x、y、z的=[-]22符号,其符号由运算过程自动确定.2222y+(9-z)(-y-9-z)(3)同样的方法可以改进/定理0及其证+[-]22明.2222z+(9-x)(-z-9-x)命题:f2222+[-]1g2-f2+f2g3-f3+,22n22122222+fng1-f1=Egi(x-4-y)(y+9-z)2i=1=11--2222f1=g2-f2,22(z+9-x)-.222f2=g3-f3,Z代入已知条件,得,,(x-4-y2)2+(y+9-z2)2

6、+(z+22fn=g1-f1.9-x2)2=0,证明:由恒等式222由非负数的性质,得22fi+(gi+1-fi+1)figi+1-fi+1=22x=4-y,À222(fi-gi+1-fi+1)y=-9-z2[0,Á-,2lunnnz=-9-x2[0.22121得Efigi+1-fi+1=Egi-E(fii=12i=12i=1平方,得(必要不充分)22222-gi+1-fi+1).x+y=4,lv22故有等价条件y+z=9,lwnn22lxEf2212z+x=9.igi+1-fi+1=Egii=12i=1lv+lx-lw,得n222ZE(fi-gi+1-fi+1)=0x2=2,i=122由

7、À,得x=2.fi=gi+1-fi+1,i=1,2,,n,Z由lv+lw-lx,得gn+1=g1,fn+1=f1.y2=2,与文[2]的定理相比,有如下的变化:又由Á,得y=-2.(1)删去了条件0[fi[gi.其中fi[gi作由lw+lx-lv,得为隐含条件(或存在域)已包含在开平方的要2求之中;而fz=7.i也已包括在nn又由lu,得z=-7.Ef2212igi+1-fi+1=Egi的要求