解题也要与时俱进

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1、万方数据数学通报2005年第44卷第1期解题也要与时俱进廖冬云(湖南常德鼎城一中415101)近几年来，《数学通报》的“数学问题解答”栏目中时常出现一些不等式的证明和求最值的问题．这些问题大都构思新颖、解答巧妙、耐人寻味．美中不足的是证明或解答这些问题时大量的用到了新课程中已经淡化或淘汰的基础知识、基本技能，而忽略了高中新增内容——导数的应用，使有些问题的解答显得过于繁琐，技巧性太强．其实，导数以选修内容的形式进入高中实验教材后，就为一些较复杂的不等式的证明和较复杂的函数最值的探求，提供了简捷有力的新工具．下面，以近几年《数学通报》中的一些数学问题为例，说

2、明导数在解题中的应用．例1求函数Y=并4—12x3+68x2—192x+832(省∈R)的最小值．(《数学通报》问题1393)解因为Y’=4x3—36x2+136x一192=4(戈一3)l(髫一3)2+7J，显然，戈<3时，Y’<0；石>3时，Y’>0．所以菇=3时，Y有最小值625．1例2设o，b∈R+，I并I<寺，求函数．厂(茗)=．14a2飞+万』堡忑的最小值．(《数学通报》问～＼1t2x)2十(1—2x)2。。取7。’阻‘、氐姒于胜1K9。叫题1479)解因为厂@)={’了}黯由，’(菇)>o，有：石南>南，注意到I戈I

3、辱而“

4、位得到真正地贯彻和落实，为不同层次的学生提供了广泛的发展空间．综上，在日常教学中，要在问题设计上多下功夫，尤其是第四，第五类问题．抛弃传统教学中以消灭问题为己任，使学生由有问题变为没有问题的教学模式．在提出嗣题中拉开序幕，在解决问题中达到高潮，又在提出问题中落下帷幕．设计更加灵活的，既切合学生实际、又富有现代气息的问题情景．形成：创设问题情景一引出问题序列一师生交流互动一解决问题一问题反思一问题引申的课堂教学模式．参考文献梅汝莉．多元智能与教学策略．开明出版社，2003，9(第1版)P116张久旺．从问题人手，给数学课堂焕发活力．中央电化教育馆资源中心．万

5、方数据2005年第44卷第1期数学通报5l点+萨b≤可16．(《数学通报》问题1472)．证令以龙)=≯毛+百南(0≤菇≤1)．由，’(戈)=一百：宇：；i。弘+iii‰>。解得o≤算<丢．则吉

6、=√f彘+√r％(并>o)，则，，：熹华等磐装．【厕一厕]。一2儿(石+36)2(6+3z)2r⋯o、”∞’一。扒"川川由f’(戈)>0有：6(b+3髫)3>茄(戈+36)3．解得：戈>b，则石0，y>0．且茗+Y=1．求证：(^+6)(7吉乏+7≠i)≤历4．(《数学通报》问题1388)．证要证原不等式成立，只需证(，+2历)(丽3+万笔)≤了16，即证：(·+2历)(南+志)≤43’令八t)=(t川(南+万导)(。

7、等严显然，当t∈(0，1]时，f’(t)>o，故以t)在(o，1]上是增函数．依题意，0<2~／叫≤1．所以f(2√xy)≤“1)州·+2历)3丽+志)≤詈故原不等式成立．例6设实常数口使得关于并的不等式_{l+√省≥口’√_备有非零实数解，证明：。≤互塑磐．(《数学通报》问题1389)．证令t=^，则省=f2，显然z>1．则七l+^／龙吁1∞t1a2t2列‘√j§雨≥而甘雨≥i甘t一1．百■丽≥az’设如)2茄(f>1)·町‰)=一苇号≯，由“奶。解得1半时，f，(f)<0．所以￡：L尝时，以f)取最大值掣．故。≤妞警．综观以上各例，不

8、难发现，利用导数证明不等式和求最值，简洁明快，操作性强．诚如文[1