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《2016届数列求和的常用方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数列来和的常用方法姓名：错位相减法:形如：若匕｝为等差数列，｛仇｝为等比数列，求数列｛讷｝或｛尹的前n项和S"时用错位相减法。1、求和S”二1352+2?+F+2n一3川一12n一12〃2.已知数列⑷的前n项和S”=-新+如，kwN.,且3的最大值为8.9一2。(1)确定常数k,求务；(2)求数列｛丄产｝的前n项和臨裂项相消法:n(n+1)n(n+2)1(2/2-1)(27?+1)(2〃+1)(2网+1)3.求和+—+丁—+—+…+—厂。a/2+1a/3+a/22+a/3+1+^fn4.数列｛%｝的通项公式是an=丁2"-1,如果数
2、列｛bn｝是bn=—-——，试求0”｝的前n项和S”。①+①+i解析：an=丁2"-1/.an+l=V2W+1-1・・+仇=J22—1—J2】一1+『23—1—『22—1+…+丁2小一1—丁2"—1如
3、-1-血-1=V2w+,-1_15.已知数列｛给｝的询川项和是S”，且S“+严“=1(用NQ.(1)求数列｛冷｝的通项公式;⑵设仇=log3(l—S“+])0?WN+),求适合方程石^+法^b；
4、=
5、
6、的正整数«的值.(1)当几=1时，a12S1，由S1+尹1=1,得Cl=y当n22时，•Sn=1—2“"'S“-]=1—2。"-1
7、'*•乳-S”-]=2(。"-1—a”)‘即d”=2(d”"i一Q"))212厂1、・°・d“｛an｝是以亍为首项，§为公比的等比数列.故给=亍百丿"_1=2-(少gNJ.少,bn=log3(l一S”+J=logs少1=~n-,1_1b际、(n+l)(n+2)1111n+1n+2"bb2仇6bnbni.34得n=10().分组求和：例题1・已知数列｛an｝的前n项和5；=2%-3•2”+4(〃=1,2,3,…)(1)证明数列｛*｝是等差数列,并求仏｝的通项公式;(2)设7；为数列｛S”-4｝的前n项和,求7；。2.［2014-浙
8、江］己知数列｛给｝和｛%｝满足a】必3・・・给=(血产(用N).若仏｝为等比数列,_EL。］=2,Z?3=6+/?2.(1)求a”与％.(2)设cZJ=^—7-(/2eN*)•记数歹l」｛c“｝的询n项和为Sn.(1)求S“；(ii)求正整数匕使得对任意用N%有S&S”.解：(1)由题意。］°2如…4?=，方3—b?=6,知a3=(V2/3—仇=&又由ai=2,得公比q=2(q=—2舍去),所以数列｛a“｝的通项为a”=2"gN*)・所以，a］。2如…a”=2“")=(迈严+"故数列｛九｝的通项为hn=z?(n+l)(7?eN*)・
9、(2)⑴由⑴知cn=~-^=^-^-^)(neN).所以S„=〃+］—2^(nWN).(ii)因为c】=0,c2>0,C3>(),CQ0,n(«+1)所以,综上,所以，当卅$5时，c〃v()・综上，若对任意nWNpE有贝ijk=4.放缩法:(1)—7<—?<—777⑵~r<2(_Vh-1)n+)n~nyn-)yjn(1)加糖原理：若a,b,mwR+则f<严或严>手bb+mb+mb斤1L例题1证明：£斗<2侖/=!y/i2•证明：亍丄＜1-丄i=2nn2vi22.(2013r东)设数列｛%｝的前〃项和为S”.已知at=li-^
10、=an+[—n2-n一一,neN*.n33(I)求勺的值；(II)求数列仏｝的通项公式；11jz17(III)证明：对一•切正整数心有一+—+•・•+—<—.州a2an412【解析】(I)依题意，25,=«2——1一一，又S,=6/,=1,所以$=4；(II)当rt>2时,2Sn=na,-—n3-n2-—n,Y/33Ki、q722S“_
11、=(”—)an--｛n-1)_“一1)・一亍⑺一1)i2两式相减得2d”=加“+]—(/?—l)o“—(3/?广_3刃+1)—(2〃—1)—整理得(料+1)%=naM+l-n(n+l)，即-^j-
12、—=1,乂守一牛=1r'故数列化是首项为鱼=1,公差为1的等差数列，所以化=1+("-1)x1二斤，所以久=用n1n1711(III)当/?=1Ibf,—=1<-；当斤=2时，一+—二aA4aAa2,n,11111M,当n>3时；—=—<-——=—-—一，此时ann~^n—ljnn-111,1111,1同a2afl43242n241+丄壬z444n_nJ~3;n_n5~4>"一1n)1117171117=1+—+=<—综上,对一切正整数〃，有一+—+•••+—<—.42«4/?4绚a2an44.[2014-新课标全国卷II]已知
13、数列仏｝满足6=1,如]=3心+1.1](1)证明仏+才是等比数列,并求｛an｝的通项公式；1113⑵证毗+石+・・・+石T解：(1)由a”+i=3a“+l得a“+i+㊁=3所以仏+*｝是首项为号，公比为3的等比数列，所以an+^=式
