正弦级数与余弦级数

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1、周期为2π的函数的傅立叶系数:函数的傅立叶级数:的傅立叶级数何时收敛？收敛于什么？预备知识：1第八节正弦级数和余弦级数一、奇函数和偶函数的傅立叶级数定理在一个周期上可积,则它的傅立叶系数为设是周期为的周期函数。⑴当是奇函数时，它的傅立叶系数为⑵当是偶函数时,证⑴当是奇函数时，2是偶函数时，⑵当这个定理说明了:只含有正弦项的正弦级数：弦项的余弦级数：那么它的傅立叶级数是为奇函数，如果为偶函数,如果那么它的傅立叶级数是只含有常数项和余3解处不连续，例1它在设是周期为的周期函数。上的表达式为将展开成傅立叶级数。所给函数满足收敛定理的条件，它在点因此，的傅立叶级数在点处收敛于在连续点处收敛于和函数

2、的图像:4按前面公式有则的傅立叶级数展开式为的奇函数。若不计则是周期为5例2将周期函数展开成傅立叶级数,其中E是正的常数.解所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此的傅立叶级数处处收敛于因为是周期为2π的偶函数，按公式有6则的傅立叶级数展开式为7二.函数展开成正弦级数和余弦级数解例3将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。先求正弦级数。对函数进行奇延拓：奇（偶）延拓:如果只在上有定义，且满足收敛定理的条件，在开区间内补充函数的定义，得到定义上的函数使它在成为奇函数（偶函数）按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓（偶延拓）。在8代入得的正弦级数展开式，得再求余弦级数。对函数进行偶延

3、拓：在端点及处，级数的和为零，它不代表原函数的值。而是该级数收敛于0.?注：9代入得的余弦级数展开式，得10第九节周期为的周期函数的傅里叶级数设周期为的周期函数满足收敛定理的条件,叶级数展式为:其中,（1）定理则其傅里（2）若为奇函数：（3）若为偶函数：11（1）,（2）,（3）式都是在连续点处成立,若为间断点,则等式右边级数收敛于说明证:则当则是周期为的周期函数,并且满足收敛定理的条件,将展成傅里叶级数:所以,类似可证（2）,（3）。令令回代12解设例1.是周期为6的周期函数,它在一个周期内的定义为:将展开成傅里叶级数。函数满足收敛定理的条件,则在间断点处,的傅里叶级数收敛于13在的连续

4、点处14例2将如下图所示的函数展开成正弦级数。MlOx解延拓后的函数的傅立叶系数:必须对是定义在[0,l]上的函数，要将它展开成正弦级数，进行奇延拓。对上式右端的第二项,令t=l-x,则15当时,当时,的正弦级数展开式为：16例3.将函数展成傅里叶级数.解令则设将进行周期延拓,延拓后的函数满足收敛定理的条件,17回代得18一、奇函数和偶函数的傅立叶级数小结：二.函数展开成正弦级数和余弦级数19