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1、工科高等数学下册实验东北农业大学信息与计算科学系实验三1.运用Mathematica计算二重积分和三重积分。2.运用Mathematica求立体的体积及曲面的面积。3.运用Mathematica计算曲线积分和曲面积分。4.绘制空间曲面的交线。二重积分格式Integrate[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]例1求例2求,其中为曲线所围区域。In[]:=Integrate[x^2*y,{x,1,4},{y,0,Log[x]}]Out[]=In[]:=Plot[{x^2,Sqrt[x]},{x,0,2},PlotRange→{-1,2},AspectRatio→1]In[]
2、:=Integrate[x*y,{x,0,1},{y,x^2,Sqrt[x]}]Out[]=三重积分格式Integrate[f[x,y,z],{x,x1,x2},{y,y1,y2},{z,z1,z2}]例3求,其中为,,所围区域。In[]:=c1=Plot3D[-y^2/2,{x,-10,10},{y,-10,10},Shading→False]In[]:=c2=ParametricPlot3D[{x,(4-2x)/3,z},{x,-10,10},{z,-10,0},Shading→False]In[]:=c3=ParametricPlot3D[{0,y,z},{y,-10,10},{z,
3、-10,0},Shading→False]In[]:=Show[c1,c2,c3]In[]:=Clear[x,y,z]In[]:=Plot[(4-2x)/3,{x,-10,10}]In[]:=Solve[(4-2x)/3==0,x]In[]:=Integrate[x+2y+3z,{x,0,2},{y,0,(4-2x)/3},{z,-y^2/2,0}]Out[]=Out[]=立体体积例4求由曲面及所围成的立体的体积。In[]:=a1=ParametricPlot3D[{u*Sin[v],u*Cos[v]/Sqrt[2],u^2},{u,0,2},{v,0,2Pi}]In[]:=a2=Para
4、metricPlot3D[{u*Sin[v]/Sqrt[2],u*Cos[v],6-u^2},{u,0,2},{v,0,2Pi}]In[]:=Show[a1,a2]In[]:=z1=x^2+2y^2;z2=6-2x^2-y^2;Simplify[z2-z1==0]Out[]=In[]:=x=r*Cos[t];y=r*Sin[t];V=Integrate[(z2-z1)*r,{t,0,2Pi},{r,0,Sqrt[2]}]Out[]=曲面的面积例5求球面含在圆柱面内的那部分的曲面的面积。In[]:=b1=ParametricPlot3D[{2Sin[u]*Cos[v],2Sin[u]*Sin
5、[v]/Sqrt[2],2Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2Pi}]In[]:=b2=ParametricPlot3D[{1+Cos[u],Sin[u],v},{u,0,2Pi},{v,-2,2}]In[]:=Show[b1,b2]In[]:=Clear[x,y,r,t];z=Sqrt[4-x^2-y^2];ds=Sqrt[1+D[z,x]^2+D[z,y]^2];x=r*Cos[t];y=r*Sin[t];Integrate[4ds*r,{t,0,Pi/2},{r,0,2Cos[t]}]Out[]=演示实验例6利用二重积分的概念,从图形的角度理解,其中。曲线积分(转化为定积分
6、)格式Integrate[f[x],{x,xmin,xmax}]例7计算曲线积分,其中是中心在,半径为的上半圆周。解:的直角坐标方程为,其中In[]:=y[x_]:=Sqrt[2x-x^2];dy[x_]:=D[y[x],x];Integrate[(x^2+y[x]^2)*Sqrt[1+dy[x]^2],{x,0,2}]Out[]=例8计算曲线积分,其中是抛物线上从到的一段弧。例9利用曲线积分求星形线，所围图形的面积。解:取In[]:=Integrate[2*y^2*y*2y+y^4,{y,0,1}]Out[]=In[]:=ParametricPlot[{Cos[t]^3,Sin[t]^3
7、},{t,0,2Pi},AspectRatio→Automatic]利用公式计算面积。In[]:=Clear[x,y,dx,dy];x[t_]:=a*Cos[t]^3;y[t_]:=a*Sin[t]^3;dx=D[x[t],t];dy=D[y[t],t];s[t_]:=(1/2)*(x[t]*dy-y[t]*dx);Integrate[s[t],{t,0,2Pi}]Out[]=空间曲面的交线例10绘制球面与柱面的交线。解
