江苏省海安高级中学2013届高三12月检测数学试卷

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1、江苏省海安高级中学高三数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填在答题卡相应的位置上）1．复数（i为虚数单位）的实部是▲．【答案】—12．集合，，若，则▲．【答案】{1,2,3}3．已知等比数列的各项都为正数，它的前三项依次为1，a+1，2a+5，则数列的通项公式▲．【答案】4．若，且，则的值是▲．【答案】5．设是单位向量，且，则向量的夹角等于▲．【答案】6．若函数的零点为，则满足的最大整数k=▲．【答案】27．定义在R上的可导函数满足，．已知，则“”是“”的▲条件.【答案】充分必要8．已知函数的图象过点A（2，1），且在点A处的切线方程2

2、x—y+a=0，则a+b+c=▲．【答案】09．在平面直角坐标系中，两条平行直线的横截距相差20，纵截距相差15，则这两条平行直线间的距离为▲．【答案】1210．半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且满足AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则的最大值为（S为三角形的面积）▲．【答案】3211．已知，O是原点，点P的坐标为（x，y）满足条件，则的取值范围是▲．【答案】12．若对任意，xy=2，总有不等式2—x≥成立，则实数a的取值范围是▲．【答案】a≤013．给出下列四个命题：第8页①“k=1”是“函数的最小正周期为”的充要条件；②函数的图像沿x轴向右平移个单位所得的图

3、像的函数表达式是；③函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（0，1）；④设O是△ABC内部一点，且，则△AOB和△AOC的面积之比为1：2；其中真命题的序号是▲．（写出所有真命题的序号）【答案】④14．定义在R上的函数满足，且当时，，则▲．【答案】二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本大题满分14分）如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点救援船立即前往营救，其航行速度为30海

4、里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【答案】由题意知AB=海里，，，∴．在中，由正弦定理得：第8页，∴（海里）又，（海里）在中，由余弦定理得：∴（海里）∴需要的时间（小时）故救援船到达D点需要1小时．16．（本大题满分14分）D1A1B1C1KNCBAMD如图，分别是正方体的棱的中点．（1）求证：//平面；（2）求证：平面平面．【答案】（1）证明：连结NK.在正方体中，四边形都为正方形，分别为的中点，D1A1B1KNBAMD为平行四边形.为平行四边形.第8页平面平面，平面（2）连结在正方体中，分别中点，四边形为平行四边形.在正方体中，平面平面为正方形，平面平面平面平

5、面平面平面17．（本大题满分14分）如图：在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A、B两点．（1）若A、B两点的纵坐标分别为、，求的值；（2）已知点，求函数的值域．【答案】第8页（1）根据三角函数的定义，得，．又是锐角，所以．由；因为是钝角，所以．所以．（2）由题意可知，，．所以，因为，所以，从而，因此函数的值域为．18．（本大题满分16分）已知O为平面直角坐标系的原点，过点的直线l与圆交于P、Q两点．（1）若，求直线l的方程；（2）若与的面积相等，求直线l的斜率．【答案】（1）依题意，直线的斜率存在，因为直线过点，可设直线：．因为两点在圆上，所以，因为，

6、所以.所以所以到直线的距离等于．所以，得.所以直线的方程为或．第8页（2）因为与的面积相等，所以，设，，所以，．所以即　　（*）因为　，两点在圆上，所以把（*）代入得所以故直线的斜率，即．19．（本大题满分16分）已知函数，，其中．（1）设函数，若在区间（0,3）是单调函数，求k的取值范围；（2）设函数，是否存在实数k，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）因，∵在区间上单调第8页恒成立恒成立设令有，记由函数的图像可知，在上单调递减，在上单调递增，∴，于是∴（2）当时有；当时有，因为当时不合题意，因此，

7、……8分下面讨论的情形，记求得A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此综合（ⅰ）（ⅱ）当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；…13分同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意.20．（本大题满分16分）设集合W由满足下列两个条件的数列构成：第8页①；②存在实数M，使（n为正整数）．（1）在只有5项的有限数列，中，其中；；试判断数列，是否为集合W的元素；（2）设是各项为正的等比数列，是其前n项和，，，证明：数列；并写出M的取值范围；