偏微分方程_热传导方程

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1、偏微分方程(PartialDifferentialEquations)18.熱傳導方程式由於溫度不均勻，熱量從溫度高的地方往溫度低的地方轉移，這種現象叫做熱傳導。假設溫度在空間中的分布和在時間中的變化為w（x,y,z,r）o熱傳導的起緣是溫度的不均勻，可以用溫度梯度▽况表示，熱傳導的強弱可用熱流強度g,即單位時間通過單位截面積的熱量表示。根據實驗結果，熱傳導現象所遵循的熱傳導定律，即傅立葉定律是:q=-kVa比例係數£叫做熱傳導係數，是物質的特性。應用熱傳導定律和能量守恆定律，可導出沒有熱源的熱傳導方程:du7_炸

2、他）+暑（弘）+£他）=0其中c是比熱，。是密度。對於均勻物體，k,c和。是常數，第⑵kcp式可寫為：a~dt第（2）式即為熱傳導方程式。若在物體中存在熱源，熱源強度（單位時間在單位體積內產生的熱量）為F（D，z,f）,則第（2）式應修改為：du7_£（'叫）+暑（弘）+肴（弘）=F（x,y,z,/）（4）所以熱傳導方程式要改寫為:dt其中/（兀,”乙“=丄F（兀”Z』）（6）cp為按單位熱容量計算的熱源強度。其中⑺運算子為Laplace算子，其表示形式可參照17之不同座標的工IO18.分離變數法考慮一維熱傳導方程

3、式以分離變數法處理，可分為：(1)無限區間：d2u1du八—=——-oo0dx2crdtw(x,r)=bounded-oo0dxcrdtw(O,r)=0,w(oo,r)=boundedw(x,0)=/(x)有限區間，兩端保持絕緣:^=4-0

4、變換求解熱傳導問題在處理偏微分方程時，有時會出現連續特徵值分布(例如無限域區間的波傳問題)，相映的展開定理可以產生關於譜值積分的積分變換，可利用積分變換處理之前級數展開或分離變數法無法處理的問題，常用的有傅立葉變換(Fouriertransform)以及拉卜拉斯變換(Laplacetransform),對於無限域區間的定解問題，傅立葉變換法是一種普遍適用的方法，定義：F{/(兀)}=[/(X)严d=F(劲(12)(13)八{F(训=£匸F(劲e^dco=f(x)其中/⑴在(-co,oo)內絕對可積。傅立葉變換的基本

5、性質：(1)線性性質設尸{/!(%)}=^(6?),F{/2(x)}=F2(^),q和C2為常數,則,F(x)+c2f2(x)}=c}F}(co)+c2F2(^)(14)(2)尺度變換性質設a為實數，則，尸”3)}计日(15)(3)平移性質(i)F{f(x-xo)}=F^e-^(⑹(ii)F{/(兀疋％}=F(a_q)(17)(1)微分性質設/(x)eC((-oo,oo)),广(x)wC”((-oo,co)),/(±oo)=0,則F{广(兀)}=血FS)(18)推論設/(x),/f(x)，r(x),/(n-1)(x

6、)eC((-oo,oo)),/(，，)(x)gCp((-00,00)),且/(±oo)=/r(±oo)=-.-=/(，?_，)(±oo)=0,則(19)F{/W(对卜(吋F(劲(2)傅立葉轉換之微分dco(20)推論Fd“F(e)dcon~(21)(7)積分性質Qu卜存(劲Jxo丿ICO(8)摺積定理(convolutiontheorem)/(x)*g(E=(23)(ii)定理若F{f(x)}=F(co),F{g(x)}=GS),則F{/S)*g(x)}=F(0)G(Q)(24)(7)乘積定理設F{f^x)}=F

7、^),A{/2(x)}=F2H,則,£(q)笃(25)£/i⑴fi⑴必=*[£(力朮(劲〃0=£其中F(d)表F(e)的共軌函數推廣：Parserval定理(26)(8)Modulation(27)F{/(x)cos(qx)}=*[f3+q)+F3_q)]F{/(x)siii(g)}兮[齐+如-F(q-©)]例：試求d2u1du-000,初始條件:W(X,0)=/(x),-00

8、)=0—00