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1、立体几何复习1.如图1021,矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，ZADC=90°,AB=AD=^CD,BE丄DF.图1021(1)若M为EA中点，求证：AC〃平面MDF；(2)若AB=2,求四棱锥EABCD的体积.解］⑴证明：设EC与DF交于点、N,连接MN,在矩形CDEF中，点N为EC中点,因为M为EA中点，所以MN//AC.2分又因为ACQ平面MDF,MNU平面MDF,所以AC〃平面MDFA分(2)取CD中点为G,连接BG,EG,平面CDEF丄平面ABCD,平面CDEFH平面ABCD=CD,AD
2、U平面ABCD,AD丄CD,所以AD丄平面CDEF,同理£Q丄平面ABCD,7分所以ED的长即为四棱锥E4BCD的高.8分在梯形ABCD中，AB=^CD=DG,AB//DG,所以四边形ABGD是平行四边形，BG//AD,所以BG丄平面CDEF.又DFU平面CDEF,所以BG丄DF,天BE丄DF,BECBG=B,所以DF丄平面BEG,DF丄EG」0分注意到RtAD£G^RtAEFD,所以DE2=DGEF=8fDE=2品所以Veabcd=^S样形abcd・ED=4、R.12分2.如图1022,在多而体AB
3、CDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，ZCMD=90°,平面C/WD丄平面BCD,A3丄平面BCD点O为CD的中点，连接OM.D图1022(1)求证：OM〃平面ABD；(2)若AB=BC=2,求三棱锥ABDM的体积.［解］⑴证明：是等腰直角三角形，ZCA/D=90°,AO为CD的中点，AOM丄CD1分・・•平面CMD丄平面BCD,平面CMDA平面BCD=CD,OMu平奋CMD,:.OM丄平面BCD2分VAB丄平面BCD,・・・OM〃AB.3分VABu平面ABDfOMQ平面ABD,：
4、.OM〃平面ABDA分(2)法一：由(1)知OM〃平面ABD,・••点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分过点O作OH丄3D,垂足为点TAB丄平面BCD,OHU平面BCD,:.OH丄AB6分VABU平面ABD,BDU平面ABD,ABHBD=B,:.OH丄平面ABDJ分・.・AB=BC=2,△BCD是等边三角形，J3・・・BD=2,OD=1,OH=ODsin60°=专.9分V三樓雜ABDM=V三枚雜MABD=Hab・bd・oh=ix^X2X2X.11分・・・三棱锥ABDM的体积为¥・12
5、分法二：由⑴知0M〃平面ABD,:.点M到平面ABD的距离等于点0到平面ABD的距离.5分9：AB=BC=2,△BCD是等边三角形，:.BD=2,OD=.6分连接OB,则0B丄CD,OB=BDsin60°=羽.7分•:V三核够y三檢馆MABD=V三檢馆OABD=V三枝鈴ABDO^X-XODOBAB・・・三棱锥ABDM的体积为¥・12分3.如图，用丄平面ABC,AB丄BC,AE丄PB,垂足为E,4F丄PC,垂足为F.⑴求证：PC丄EF：(2)若必=2,AB=甫,BC=1,求点E到平面刊C的距离.解：⑴
6、证明:9：PA丄平面ABC,・・・£4丄BC,又AB丄BC,PAQAB=A,:.BC丄平面MB,从而有BC丄AE.又AE丄PB且PBOBC=B,:.AE丄平面PBC,:.AE丄PC.又AF丄PC,AEHAF=A,:.PC丄平面AEFf从而PC丄EF.(2)法一：过E作EH丄AF,垂足为H,由⑴知PC丄平面AEF.又PCU平面PAC.・•・平面明C丄平面AEF.又EHU平面AEF.:.EH丄平面PAC,即EH为点E到平面MC的距离.由（1）幺口，AE丄EF,PF丄平面AEF,又朋丄平面ABC,AB±BC
7、fPA=2fAB=y[3fBC=,:,AC=y]AB1+BC1=2,PB=V廉+AB?=yli.由4E丄PB,AF丄PC得PA*AB2^32^21肚=PB=羽=7'PF=AF=ACsin45°=返・・・EF^AF^-AE2=宇，即点E到平面PAC的距离为爭.法二：由法一知：S△用f=，S△丹＜7=^X㊁/久•AC=
8、X2X2=1.c=丄亦・吓=丄•込匡•並=逅s、aef匕匕卜2777设E到平面MC的距离为d.由V三槪经EPAF=V三枝你ptEF得宇HPAI；*"=亨氐AEF•PF,.占2_2晅••
9、d—
10、—7，所以点E到平面B4C的距离为爭.4.(2016-山东咼考)在如图12-3所示的圆台屮，AC是卜底面圆O的直径,EF是上底面圆0'的肓径，FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,用？的中点，求证：GH〃平面ABC；(2)已知EF=FB=*AC=2书,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.［解］⑴证明：设CF的中点为/,连接G/,HI.在ZCEF中，因为点G,/分别是CE,CF的中点,所以G1//EF.又EF〃OB,所以G/〃OB
