矩阵在量子计算与量子信息中的应用

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1、万方数据第23卷第3期2007年6月大学数学COLI。EGEMATHEMATICSV01．23，№．3Jun．2007矩阵在量子计算与量子信息中的应用王晓红(首都师范大学数学系，北京100037)[摘要]介绍了量子计算与量子信息中的一些重要的矩阵及其应用，包括密度矩阵、酉矩阵等[关键词]密度矩阵；幺正矩阵；厄米算子；可分态[中图分类号]0151．21[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2007)03一0155一06量子信息与量子计算的研究对象是用量子力学系统能够完成的信息处理任务．它与量子力学、计算机科学、信息论和密码系

2、统都有着密切的联系，它的主要目的是要建造量子计算机——比我们现在所使用的计算机的运行速度快得多的新型计算机．这样一个非常新且具有极重要的应用价值的研究领域却经常用到我们非常熟悉的矩阵．矩阵理论有着广泛的应用，本文介绍与这一领域密切相关的几类特殊矩阵及这些矩阵在其中的应用．1线性算子与张量积1．1几种特殊的线性算子在量子力学中，列矢量经常用符号l≯>表示，称为ket．它的对偶(共轭转置)用(妒I表示，称为bra-如出>一n1口2●：nn，(妒l一(口i，ai，⋯，ni)．向量空间V和W之间的线性算子是一个线性映射：A：V—W满足A(∑

3、口iI妒，>)一∑n：Al妒。>，1以>∈V．(1)i假定lu，>，⋯，lu。)是y的一组基，l叫。>，⋯，l叫。>是W的一组基，则对1，⋯，m中每一个J，存在复数％，使得AI码)一∑口9l训。>．(2)l矩阵A一(％)称为算子A的一个矩阵表示．矩阵表示的说法与线性算子的说法等价，以下我们不加区分地使用这两种说法，可以将算子理解为它的矩阵表示，这样更直观．如果算子A的共轭转置仍为A，则称A为厄米(或自伴)算子，即算子A满足A—A+．此处A+一(AT)’．如果AA+一A+A成立，称算子A为正规的．显然，厄米算子一定是正规算子．反之，一

4、个正规算子A是厄米算子当且仅当A有实特征值．关于正规算子，有一个非常著名的表示定理称为谱分解，说的是一个算子是正规算子当且仅当它可对角化．如果算子u满足【，+u—I，则称【，是酉算子．酉算子当然也满足u【，+一J．酉算子是正规算子，因此[收稿日期]2005一09—19万方数据156大学数学第23卷有谱分解．从几何上看，酉算子很重要，因为它保持向量之间的内积．正算子是厄米算子中的一个极重要的子类．算子A称为正(positiveoperator)算子，若对任意向量Iu)，(Iu)，Alu))都是非负实数，记做A≥o．如果(I可)，Al口

5、))对所有lu)≠o都严格大于零，则称A是正定(positivedefinite)的，记做A>o．正算子一定是厄米算子，因此由谱分解有一个对角化表示>]^。}i)(i}，其l中A。是非负本征值(特征值)．1．2算子的张量积设V，w是维数分别为m，咒的Hilbert空间，则Vow是一个m九维矢量空间．Vow中元素是所有形如Iu)ol叫)的元的线性组合，Vu)∈V，VI叫)∈W．特别地，若Ii>，lj)分别是V，w的正交基，则i)ofj)是yoW的正交基．有时，用}u>f叫)，f口，叫)，或f刘训)简记fu)of叫)．关于矢量的张量积是

6、这样定义的：若lu)一(口，，口。，⋯，口。)7，I叫)一(6。，6：，⋯，6。)7，则【u)眨多l叫>一(口li训)，⋯，口ml叫>)丁一(n16l，⋯，Ⅱ16。，口261，⋯，n26。，⋯，nm6。)r．关于算子的张量积用矩阵语言描述定义如下：令A一(n。)。。。，B一(6越)。。。，贝0以m：咒一2为例，令A：fn、fAoB一口1lBn21B口。1B口12Bn22B口。2B弘一(三珈AoB=8en}。nga^ceclcgc^口1。Bn2。Bn。Bbebf696^aea{‘dgdh可以证明，两个酉算子(厄米算子、正算子)的张量积

7、仍是酉算子(厄米算子、正算子)．2量子力学的基本假设为了更清楚地说明我们将要介绍的特殊矩阵，首先我们简单介绍一下量子力学及其相关概念．量子力学是研究微观粒子系统运动变化规律的理论．量子力学本身不能告诉我们物理系统服从什么定律，但它却提供了研究这些定律的数学和概念的框架．下面我们将给出量子力学基本假设的完整描述，这些假设把物理世界和量子力学的数学描述联系起来．我们先用态矢量语言给出量子力学的基本假设[1]：·任一孤立的物理系统都有一个称为系统的态空间的复内积矢量空间(即Hilbert空间)与之相联系，系统完全由态矢量描述，这个矢量是系

8、统态空间中的一个单位矢量．·一个封闭量子系统的演化可以由一个酉变换来刻画．即系统在时刻￡。的状态l曲>和系统在时刻￡：的状态l妒7)，可以通过一个仅依赖于时间￡。和￡。的酉算子【，相联系：}妒7>一【，l妒)．·量子测量由一组测量算子