蔡子星复赛模拟卷一答案及评分标准

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1、中学生物理竞赛模考训练05答案及评分标准满分160分命题人蔡子星第一题（20分）（1）如图4根轻杆之间铰接，左端铰接在墙上，端挂有重物。求出端和墙之间的作用力。（2）如图将上述结构复制n份，铰接起来，分别挂有重物，，…，。求出当n足够大的时候，墙上两个端点与墙之间的相互作用力。【解】：(1)因为是轻杆，力必水平。对和点做力矢量和为零得到对墙拉力为，点对象水平压力为，竖直压力为（6分）(2)将右方所有支架加重物视为一个整体。以为支点，写力矩平衡方程，令对墙的拉力为有：（乘以2之后错位相减）对整理合

2、外力等于零得到：12第29届复赛模拟赛题第五套命题人:蔡子星对墙水平压力位，竖直方向压力为注：用递推做则写出递推式得6分，三个结果分别2，3,3分第二题（20分）空间中有两层很薄的电荷，电荷密度为，间距为，很小，叫做电偶极层。一个电量为，质量为的点电荷，只能和电偶极层间发生静电相互作用（而不会碰撞）。（1）粒子以速度，角度，入射电偶极层，出射方向。求出和之间的关系。（2）将电偶极层弯成离心率为的双曲面形状，左边为正电荷，两个焦点沿着轴方向，要求所有平行于与轴方向入射的粒子都能汇交与焦点，则粒子速

3、度，电偶极层厚度，电荷密度之间应当满足什么关系？【解】：数学附录：双曲线方程，，，双曲线上一点到焦点的距离与到准线的距离之比为，双曲线的渐近线为。（1）由高斯定理电场，电势差由能量守恒，末态初速度满足：解得：12第29届复赛模拟赛题第五套命题人:蔡子星由沿面的切线方向动量守恒：∴（10分）（2）经过定性分析，只能是经过减速度后汇交于另一支的焦点。由于本题已知双曲线能将粒子汇聚于焦点，则只需要通过特殊值验算参数间关系即可。最简单的验算位置在距离轴很远的地方，即在渐近线上。此时入射角为，出射角为（很

4、远，所以到焦点和原点几乎是一条线）带入第一问方程得到（注意为减速）：∴（10分）解毕（以下不是考题：证明第二问的双曲线能将粒子汇聚到焦点）（3）以下不是考题部分：令曲线方程为考虑两个相邻的入射轨迹和，作于；于由双曲线第二定义（准线定义）得：作于，有（双曲线线上点到两焦点距离之差不变）由双曲线性质∴与中12第29届复赛模拟赛题第五套命题人:蔡子星∴∴第三题（20分）空间中有沿着方向的磁场，磁场大小随着时间和空间变化，满足。一个桌面在平面上，平面上有一个沿着x-y方向正放的线框，线框边长为，总电阻为

5、。（1）假设线框相对于桌面静止，线圈的左端位于的位置，求出线框中电动势随着时间的变化关系。（2）若线框质量为，摩擦系数为，线框是否可能相对于桌面沿着x方向做匀速直线运动？如果可能求出参数之间应当满足的条件，如果不可以，写明理由。（以下不是考题：找到三个这样的线框，沿着x轴发成一排，相邻两个之间用长度为的绝缘木棒连接，问这三个线框是否可能一起做匀速直线运动，如果可以求出各参数应当满足条件，如果不可以写明理由。）【解】：（1）变到以速度的参照系中对于线圈回路的总电动势不随参照系变化而变化（虽然动生和

6、感生电动势分别可能发生变化）此系中左杆，右杆左杆向上右杆向上逆时针为正，回路电动势其中（7分）12第29届复赛模拟赛题第五套命题人:蔡子星在原系中积分计算磁通量再对时间求导数方法也给全分。（2）设直线运动速为同第一问有：又电流安培力显然与无关只有，然后这会导致∴不可能（13分）（不是考题部分），类似三相交流电。第四题（20分）一个金属球壳，半径为，质量为，带电量为，初始时刻自由的静止在空间中。球壳的一端有一个小洞。球心与小洞的连线方向视为轴线方向。在轴线上很远的地方有一个半径为的金属球，质量为，

7、带电量为，以初速度向着球心飞去。（假设飞行速度很慢，电荷产生电场可以拿静电力公式计算，金属球壳外表面导电性能良好，不考虑电磁辐射）（1）求出当金属球进入球壳后达到球心时，金属球的速度为多少？（2）金属球与球壳发生完全非弹性碰撞后连为一体，求整个过程中的发热。（以下不是试题：求出能够让金属球打入球壳所需的最小速度。仔细想哦。答案得到的同学回去面壁）【解】：（1）初态电势能为末态电势为，电势为∴末态能量12第29届复赛模拟赛题第五套命题人:蔡子星∴动能减少为设末态速度为，末态速度为由动量守恒，由能量

8、守恒，解得：（8分）（正根、负根舍去一个，或者不舍去均给分）（2）电荷全部到达外表面后：电势能改变：由能量守恒得到：∴（12分）第五题（20分）如图所示，一个信号源以恒定的速度向x正方向运动。信号在空中传播的速度为u。信号源本身的频率为。在地面上的静止的观察者所接受到的信号频率为。在信号源的飞行轨迹上，点位最靠近P的点。以原点建立坐标系。（改编自台湾物理竞赛试题）（1）证明在信号源距离观察者足够远的时候，有人类的第一颗人造卫星绕地飞行的时候，地面上的观察者测量卫星发出的光信号频率。纵轴为信号频率