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《山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第21章共边比例定理共角比例定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第21章共边比例定理共角比例定理共边比例定理若两个共边AB的三角形厶PAB,/XQAB的对应顶点P,Q所在直线与A3交于M,则=—.1SHQARQM证法1由同底三和形的面积关系式，有'△如PMcQM，L.QAMS'PBMMs一莎△购.由上述两式相加即证得图21-1+⑴、（2）,形.上述两式相减即证得图21-1中（3）、（4）情(1)APQd)N证法2不妨设A与M不同，则'△QAMS厶qab'△PAB_SmpabS/MUf.'△SMS&aBABPMAM_PM~~M~QM证法3在宜线AB上取一点N,使MN=ABt则S、p»B—S
2、pmn、所以,S、PMNPM~~QM共角比例定理若ZABC与ZA'B'C'相等或互补，则有S△八BC—BC（或s、BC_S△八‘BC）S/mb，c，-人矽•B'C'ABBC~A矽•B'C'证明把两个三角形拼在一起，让的两边所在直线与ZZT的两边所在直线重合，如图21-2所示，其中图（1）是两角相等的情形，图（2）是两角互补的情形，两情形下都有图2P2①张景中.儿何新方法和新体系[M].北京：科学出版社，2009：5.S△八pc_ABBC共角比例定理的推广ZABC与ZXKZ相等或互补，点P在直线AB±.R不同于A,点0在直线XY
3、上且不同于X,则PABC~QXYZ证明不妨设B,C,X,Y共线如图21-3,则SmeSxxyS*XZ_PAB£XY_PABC~7b5aQX~QXYZ共角比例不等式如果ZABC>^Bfcf,而且两角之和小于180°,贝IJS/U8C>AB•BC（或s'ABC）S*c，A®B'C'~ABBC，A矽•B'C*证明记ZABC=a,ZAEC=0.如图21-4,作一个顶用为a-p的等腰△〃/?,延长0R至S,使ZRPS=0,则ZQPS=a.由共角比例定理，有S'ABC二'、QPS>SspsABBC~PQPSPRPS'△/BC共角比例逆定理在
4、AABC和AA^V中,若辟，则如S'相等或互补.证明用反证法.假设ZB,，口不相等也不互补，不妨设这时冇两种情形:ZB+ZBZ<180或ZB+ZBZ>180°.若ZB+ZB'vl80。,由共角比例不等式,得ABBCA'B'B'C'这打题给条件矛盾.若ZB+ZB'>180°，如图21-5，延长AB至D,使BD=AB，延长NE至D'使BQ=NE•这时，ZDBC+ZD'BV<180°,而且ZDBC=18O°-ZB<180°-ZBz=ZD'B'C'由共角比例不等式,S△册LBQ・B'CBDBC但由共边比例定理，知Sgm=S△加r‘S,)
5、rc~S厶abcri.B'lY=A：B',BD=AB故上述不等式，即为ABBC・BC这也与已知题给条件矛盾.从而假设ZB,不相等也不互补不成立.故与Z皮相等或互补.下面给出应用上述定理证明问题的例子.例1（1999年全国高中联赛题）在四边形ABCD屮，对角线AC平分ABAD.在CD上取一点E,BE与AC相交于点F,延长DF交BC于G.求证：ZG4C二ZE4C.证法1如图21-6,在厶CDG屮，对割线EFB应用梅涅劳斯定理，并注意到共边比例定理,有(CEDFGB1=EDFGBCAC・sin,E4CADsinZD4C4G・sinZ%
6、GAD・sinZDAEAG・sinZGACAC-sinABACsinZEACsinZBAG_sinasin(y-0)sinZDAEsinZGACsin(/-cr)sin0是sin(/-a)-sin0=sina・sin(y-0)ocos(/-a+0)_cos(y_a_0)=cos(a+y_0)_cos(a_y+0)ocos(7-a+0)=cos(Q+y-0)oa=0oZ.EAC=ZGAC证法2如图21・6,对△CDB及点F应用塞瓦定理（令DB交AC于点H）,并注意到共边比例定理，CEPHBGCEDABG~~ED~AB~GC一S、a
7、ceDASsbg■■I■•IIS△人EDABSWGC_ACsinZEACDAABsin/BAG_AD-sinZDAE~ABAC-sinZGACsinasin(y-/7)(以下同证法，略)sin(y-a)sinp例2（2003年全国高中联赛题）过闘外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A,B,所作割线交圆于C、D两点，C在P、DZ间，在弦CD上取一点0,使么ZDAQ二ZPBC.求证：ZDBQ=ZPAC.证明如图21-7,ZDAQ=ZPBC=ZQDB=a,乙PAC二ZADC=卩.A在厶AQD中，由正弦定理，有些=竺0.DQsina
8、过A、B分别作4E丄CQ于£,作丄CD于F,注意到共边比例定理，冇S、pac_人疋_•sin0——•S“PM、BFDB•sina乂S^pac_AP•AC•sin0_AC•sin0S、pbcBP'BCsinaBC•sina_sin20则AD_sin0_AQsin"
