集中趋势和离中趋势

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1、第四章集中趋势和离中趋势4.1集中趋势的计量4.2离中趋势的计量4.3数据的分布形状1.简单算术平均数计算公式:它是反映数据集中的主要测度。4.1集中趋势的计算集中趋势反映一组数据中各数据所具有的共同趋势，即资料中各数据聚集的位置。一、算术平均（也叫均值）算术平均的统计含义：算术平均数是同质总体各数据偶然性、随机性特征互相抵消后的稳定数值。反映数据集中的特征。例某生产班组11个工人的日产零件数分别为：15，17，19，20，22，…26，30。求该生产班组工人的平均日产零件数。22＊＊＊＊＊＊＊…解：算术平均值的性质一:数据观察值与均值的离

2、差值之和为零.此性质表明均值是各数值的重心算术平均值的性质二：观察值与均值的离差平方和最小。为任意数故用算术平均值来预测作为估计值，误差平方和最小。数列:1,2,2,3平均数为2数列:1,2,2,5平均数为2.5数列:1,2,2,7平均数为3均值的缺点：均值易受极端值的影响，某个极端大值或极端小值都会影响均值的代表性。同时还影响其对集中趋势测度的准确性。二、中位数将数据观察值x1,x2,…,xn按其变量值由小到大的顺序排列，处于数列中点位置的数值就是中位数（Me）。中位数的确定方法：①如果数据个数为奇数，则处于（n+1)/2位置的标志值是中

3、位数。②如果数据个数为偶数，则处于n/2、n/2+1的两个标志值的平均数为中位数。③如果是组距分组资料，公式为：中位数是n/2位置上的数值，设落在第i组,Li是中位数所在组的下限，fi是中位数所在组的次数。Fi-1是中位数所在组的前一组的累积次数Ui-Li是中位数所在组的组距=上限-下限向上累积向下累积某单位80工人一周生产零件数分组统计资料如下：工人一周生产零件数工人数fi组中值xixifi向上累计频数向下累计频数60以下75538578060-7021651365287370-8025751875535280-9019851615722

4、790以上895760808合计80---6000------中位数是位置平均数，不受极端值的影响。各个数值相对其中位数的绝对离差之和为最小。不足：中位数确定时只与中间位置的相关数据有关，而不考虑其它数值的大小，缺乏敏感性；计算复杂。三、众数众数是一组资料中出现次数最多的那个数值，也反映数据集中的程度（M0）。①未分组资料，M0就是出现次数最多的变量值。20，15，18，20，20，22，20，2320，20，15，19，19，20，19，2510，11，13，16，15，25，8，12②分组资料：在等距分组的情况下，频数最多的组是众数组，

5、在该组内确定众数。设众数在第i组，则Li是众数所在组的下限，Ui是众数所在组的上限；fi是众数所在组的次数。di=Ui-Li是中位数所在组的组距=上限-下限某单位80工人一周生产零件数分组统计资料如下：工人一周生产零件数工人数fi组中值xixifi向上累计频数向下累计频数60以下75538578060-7021651365287370-8025751875535280-9019851615722790以上895760808合计80---6000------在Excel中AVERAGE（）—计算算术平均数利用SUM（）函数和SUMPRODUC

6、T（）函数求加权算术平均。MEDIAN（）—计算中位数MODE（）—计算众数四、均值、中位数、众数三者之间的关系XfXfXf(对称分布)正偏态分布（右）负偏态分布(左）均值是数据分布的平衡点或重心，中位数把这个分布划分为两半，众数正好是分布的顶端。在偏斜不大时，中位数大约位于均值与众数的1/3处。算术平均数适用于定距变量（或数值变量、定量变量），中位数适用于定序变量，众数则适用于定类变量（或定性变量）五、集中趋势的其它测度量1.分位数：四分位数、十分位数、百分位数。分位数的计算：（1）将资料按大小顺序排列；（2）求出分位数所在位置i；（3）

7、若i为整数，则所求分位数为该位置上的数值；若i为非整数，则取第i与第i+1位置的两个数值的平均数为所求分位数。（4）若资料为分组数据，则各分位数可按下式计算：Ki表示第i个K分位数；Li表示第i个K分位数所在组的下限；N表示数据总个数；Fi-1表示第i个K分位数所在组的前一组的累积次数；fi是第i个K分位数所在组的次数。di=Ui-Li是第i个K分位数所在组的组距。其中[]表示中位数的位置取整。这样计算出的四分位数的位置，要么是整数，要么在两个数之间0.5的位置上四分位数的位置确定方法：方法1：定义算法方法2：以中位数为中心，从两端再计算中

8、位数，公式：方法3Excel给出的四分位数位置的确定方法无论哪种算法，如果位置是整数，四分位数就是该位置对应的值；如果是在0.5的位置上，则取该位置两侧值的平均数；如果在0.25