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1、第1章插值法1.1插值法1.2Lagrange插值1.3Newton插值1.4Hermite插值*1.5分段线性插值*1.6三次样条插值11.1插值法插值问题的背景在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算,或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值)，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的近似函数(x)，来逼近函数f(x)。常用的函数逼近方法有：►插值法；►最小二乘法（或称均方逼近）；►一致逼近等。2函数可以未知，只需已知若干点上的值。插值法插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应
2、用。简单地说，插值法就是用给定的(未知)函数f(x)的若干点上的函数值(或其导数值)来构造f(x)的近似函数(x)，要求(x)与f(x)在给定点的函数值相等。有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermite插值，分段插值和样条插值。3设f(x)为[a，b]上的函数，在互异点x0,x1,...,xn处的函数值分别为f(x0),f(x1),…,f(xn),构造一个简单函数(x)作为函数f(x)的近似表达式y=f(x)
3、(x),使(xi)＝f(xi),i＝0,1,2,…,n(1.0)则称(x)为关于节点x0,x1,...,xn的插值函数；称x0,x1,...,xn为插值节点；称(xi,f(xi)),i=1,2,…,n为插值点；f(x)称为被插值函数。(1.0)式称为插值条件。这类问题称为插值问题。构造出(x)，对f(x)在[a,b]上函数值的计算，就转化为(x)在对应点上的计算。插值法的定义41.2Lagrange插值选用代数多项式作为插值函数。Lagrange插值就是选用节点上的函数值作为插值条件。1.2.
4、1线性插值给定两个点(x0，y0)，(x1，y1），x0≠x1，确定一个一次多项式插值函数，简称线性插值。待定系数法设L1(x)=a0+a1x,代入插值点当x0≠x1时，方程组的解存在唯一。即插值条件：L1(xi)=f(xi)=yi,i=0,15解之得，因此，（1.1）式称为一次Lagrange插值。由求解过程知，用待定系数法，需要求解线性方程组，当已知节点较多时，即方程的未知数多，计算量较大，不便向高阶插值推广。6插值基函数法分别构造两个节点上的一次函数，使其在本节点上的函数值为1，而在其他节点上的函数
5、值为0。设l0(x),l1(x)分别为满足上述条件的一次函数，即或简单地记为对于过两个节点x0,x1的线性插值（1.1）式，令7显然，l0(x),l1(x)满足： 线性插值函数可以写成节点上函数值的线性组合，即L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1称l0(x),l1(x)分别为x0,x1的插值基函数。线性插值误差定理1设L1(x)为一次Lagrange插值函数,若f(x)一阶连续可导，f"(x)在(a,b)上存在，则对任意给定的x∈(a,b),至少存在一点ζ∈(a,b),使得证明略。易知满足插值条件
6、：L1(xi)=yi,i=0,181.2.2二次插值给定3个互异插值点(xi,f(xi)),i=0,1,2，确定一个二次插值多项式函数，即抛物线插值（如图）。待定系数法设L2(x)=a0+a1x+a2x2,代入3个插值条件：L2(xi)=f(xi),i=0,1,2，解线形方程组可得a0,a1,a2。9插值基函数法构造3个节点上2次插值基函数l0(x),l1(x),l2(x),使满足li(xj)=δij，i,j=0,1,2。因为l0(x)为2次插值基函数,且l0(x1)=l0(x2)=0,所以可设l0(x)
7、=A(x-x1)(x-x2)。由条件：l0(x0)=1，得同理可得，二次Lagrange插值多项式为容易验证满足插值条件10例1.1给定sin11°=0.190809,sin12°=0.207912,求线性插 值，并计算sin11°30'和sin10°30'。解x0=11°,x1=12°,y0=0.190809,y1=0.207912，sin11°30'≈L1(11.5)=0.199361,sin10°30'≈L1(10.5)=0.182258.准确值为：sin11°30’=0.199368sin10°3
8、0’=0.18223611例1.2给定sin11°=0.190809,sin12°=0.207912, sin13°=0.224951,构造二次插值，并计算sin11°30′。解x0=11,x1=12,x2=13,y0=0.190809,y1=0.207912,y2=0.224951，sin11°30′≈L2(11.5)=0.199369,sin11°30′=0.199368.121.2.3n次Lagrange插值多项式已知n
