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1、§2.1数列的极限一、数列的定义二、数列的极限三、数列极限的性质四、小结一、数列的定义数列:x1,x2,⋅⋅⋅,xn,⋅⋅⋅或{}xn12n14n+(1)−n−1如,,,⋅⋅⋅,;⋅⋅⋅n−11,1,−"".(1)−,;2,,,",,"23n+123n注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取x1,x2,⋅⋅⋅x⋅⋅⋅nx3x1x2x4xn2.数列是函数xn=f(n)12nn,,,⋅⋅⋅,;⋅⋅⋅xf==()nn23n+1n+1n−1n+(1)−n−114n+(1)−2,,,"",,;xfn==()n23nn二、数列的极限(刘徽割圆术)“割之弥细
2、，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可
3、割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽正六边形的面积A1正十二边形的面积A2""""Rn−1A正6×2形的面积nA,A,A,",A,"S123n9他计算到正307262=⋅边形，得：3927π≈=3.141612502、截丈问题：战国时期哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话“一尺之棰，日取其半，
4、万世不竭。”把每天截后剩下部分的长度记录如下（单位：尺）：1第一天剩下的杖长为X=;121第二天剩下的杖长为X=;222""""1第天剩下的杖长为nX=;nn21X=>0nn02例1先观察几个数列：1()1x=nnxn1O10210310410510610710810910101011n1()21x=−nnxn1O10210310410510610710810910101011n(3)x=nnx+∞nxn●n+∞●OOnn()41x=−()nxn目标不惟一!1●●●●●●●●On30102031112132122213332334142435152536162637
5、1727381828391929403020413121−1●●●●●●●●n结论：当n“无限增大”时,数列的变化趋势有三种情形：x1、n“无限增大”；x2、n“变化趋势不定”；x3、n“无限接近”某个常数a.极限的直观定义1.定义：当n趋于无穷大时，数列xn趋于常数a,则称常数是数列axn的极限,或者称数列xn收敛于a,记为limxan=或xn→→an()∞n→∞如果数列没有极限,就说数列是发散的.2.几个常用极限c(1)lim=0Ｃ为非零常数n→∞nnnaa=>(2)limn=1，lim1,(0)n→∞n→∞n(3)limq=0,(1q<).n→∞11nlim=
6、0.lim(1)−=0,nn→∞nn→+∞2（4）常数项的极限时本身。课堂练习：观察下列极限：n−111+−(1)lim==limnn→∞nn→∞11lim==lim2nn→∞nn→∞ln15⎛⎞lim=−lim2⎜⎟=n3nn→∞en→∞⎝⎠极限的直观定义当n趋于无穷大时，数列xn趋于常数an→∞limxa=nn→∞∃NnN,>xn−a<ε严格定义(“ε—N”语言)∀ε>0,∃正数N,当n>N时,总有xn−a<ε注意：（1）定义中ε是用来刻划x与a的接近程度的;nX与a要多么接近就有多么接近。n（2）而N与ε有关。一般ε越小,N越大;数列的极限与前面有限项无关。（
7、3）极限研究的是数列在无穷远处的动态变化趋势，与数列中的某一具体项无关。（4）极限是一种新的运算，它的运算对象是数列，是一种“无限”、“动态”运算。几何意义不等式
8、x-a
9、<ε(n>N)可改写成a-εN),则若把x看成数轴上的点,在数轴上任意取n定a的ε邻域,x以后的所有点都落在aN2ε的ε邻域内.a−εa+εxxxaxxx21N+1N+23这就表明数列x所对应的点列除了前面有限个点外都n能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列x中n的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。用“ε—N”定
