排队系统分析(全)

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1、第五章排队系统分析（QueuingSystemsAnalysis）第一节排队的基本概念第二节到达与服务的规律第三节M/M/1排队模型第四节M/M/C及其他排队模型第一节排队的基本概念一.排队系统的组成服顾到达离去务客队列机源构第一节排队的基本概念现实世界中形形色色的排队系统到达的顾客要求服务内容服务机构不能运转的机器修理修理技工修理技工领取修配零件发放零件的管理员电话呼唤通话交换台病人就诊医生驶入港口的货船装货或卸货码头(泊位)来到路口的汽车通过路口交通警或红绿灯进入餐馆的顾客就餐餐位的服务员1.输入过程输入过程是指顾客到达排队系统的过程，对此我们主要讨论两方面内容：（1）顾客源：分为•

2、无限∞(如电话呼唤)•有限m(如车间里待修理的机器)1.输入过程（2）到达规律：指到达间隔时间T的分布分为•定长D•负指数M•k阶爱尔朗Ek2.排队规则排队规则是指顾客到达系统后排队等候服务的方式和规则。可分为三种类型：（1）损失制指顾客到达时若所有服务设施均被占用，则顾客自动离去。现实中的例子：•程控电话交换系统•知识竞赛的抢答环节2.排队规则（2）等待制指顾客到达时若所有服务设施均被占用，则留下来等待，直至被服务完离去。等待的服务规则又可分为：•先到先服务（FCFS）•后到先服务（LCFS）•带有优先权的服务（PS）2.排队规则（3）混合制是损失制和等待制的混合。允许排队但不允许队列

3、无限长；或允许等待但不允许等待时间无限长。•系统容量有限制：码头的泊位•等待时间有限制：医院的专家号3.服务机构对服务机构的研究内容主要有服务设施（称为服务台）的数量和服务的规律。⎧=1（1）服务台个数C⎨⎩>1(并列多台)（2）服务规律：指服务时间v的分布分为•定长D•负指数M•k阶爱尔朗Ek•一般分布G二.排队模型的表示火车站排队.flv（X/Y/Z/A/B/C）X：顾客到达时间间隔的分布Y：服务时间的分布Z：服务台个数A：系统容量B：顾客源数量C：服务规则二.排队模型的表示M/M/1/FCFS）表示：∞/∞/到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分布，1个服务台，系统容量也无限，

4、顾客源无限，先到先服务。（M/M/C/N//∞LCFS）表示：到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分布，C个服务台，系统容量为N，顾客源无限，后到先服务。若只讨论先到先服务的情况，可略去第6项。三.排队问题的求解描述系统运行状态的指标：1.队长和排队长队长：系统中的顾客数；其概率分布称状态概率，记为P，表示系统中有n个顾客的概率；队长的平均值记为L。ns排队长：系统中正在排队等待的顾客数，记其均值为L。q三.排队问题的求解2.逗留时间和等待时间逗留时间：一个顾客在系统中的停留时间，记为W，其均值记为W。s等待时间：一个顾客在系统中排队等待的时间，记其均值为W。q第二节到达与服务的规律

5、到达的规律⎧⎪到达间隔（时间）描述顾客到达规律可从两方面⎨⎪⎩到达数（数量）现实中有许多服务系统，其顾客的到达具有下述特征：（1）无后效性：不想交的时间区间内到达顾客数相互独立；（2）平稳性：增量与时间起点无关；（3）稀有性：瞬时内只可能有1个顾客到达。到达的规律称具有上述特征的输入为泊松流，其在t时段内到达n个顾客的概率为n()λtPt()=en−λt,=>0,1,;"0λnn!即参数为λt的泊松分布。¾讨论：λ的含义？单位时间到达系统的平均顾客数，即到达率。¾问题：当顾客按泊松流到达时，其到达的间隔时间T是服从什么分布呢？因为到达为泊松流，所以时段内没有来顾客的概率为t0()λt−λ

6、tt−λP()te==e00!所以，t时段内有顾客到来（即间隔Tt≤）的概率为−λt⎧10−et≥FtPTt()=≤=()⎨T⎩00t<到达数为泊松流到达间隔服从负指数分布（同参数）负指数分布满足无后效性证：由条件概率公式得P(TttTt>+00)∩(>)PTttTt()>+>=00PTt()>0PTtt()>+e−+λ()tt00−λt===eP=()Tt>PTt()>e−λt00¾进一步：负指数分布的密度函数为:−λt⎧λe,t≥0fT(t)=⎨⎩0,t<01参数λ即其均值的倒数。因此，的含义是平均间隔时间，λ这与λ为单位时间到达系统的平均顾客数的含义一致。服从负指数分布的情形：高度

7、耐磨损的电子元器件假若表示某种电子元件的寿命，则当元件已使用了时Tt0间后估计它还能再使用时间的概率，与它全新时估计用时间的概率一样，即它对已使用了的t时间无记忆。说0明这种元件是高度耐磨损的。二.服务的规律主要是采用系统对顾客服务时间v的分步。主要讨论服务时间v服从负指数分布的情形，即−μt⎧μe,t≥0fv(t)=⎨⎩0,t<01平均对每位顾客的服务时间为μ参数μ的含义——服务率注：负指数分布的一般化——爱尔朗分布，可用于描述由