算符与对易关系习题解

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1、第三章算符与对易关系习题解门福殿教授著《量子力学》第二章算符与对易关系1．设Dˆ=d,试证：()DxDxDxˆˆˆ+−()=−22−1dx证明：()DxDxDDxxDxˆˆˆˆˆ+−()=−+−22（1）其中的：−+DxˆˆxD，让其作用在ψ()x上，有()xDDxxxˆˆ−=−ψψ()d()dψx(xx())=−−xd()d()ψxxxxψψψ()=−()x，dxdxdxdx因此xDˆˆ−=Dx−1，代入（1）式，得所求证结果。2．如果算符αˆ、βˆ满足条件αˆβˆ−βˆαˆ=1，22求证：αˆβˆ−βˆαˆ=2βˆ，αˆβˆ3−βˆ3αˆ=3βˆ2，αˆβˆn−βˆnαˆ=n

2、βˆn−1证明：利用条件αˆβˆ−βˆαˆ=1，以βˆ左乘之得2βˆαˆβˆ−βˆαˆ=βˆ2则有(αˆβˆ−1)βˆ−βˆαˆ=βˆ22最后得αˆβˆ−βˆαˆ=2βˆ。再以βˆ左乘上式得βˆ(αˆβˆ2−βˆ2αˆ)=2βˆ2，即βˆαˆβˆ2−βˆ3αˆ=2βˆ2则有αˆˆβββˆˆˆ333−−=αβ2ˆ2最后得αβˆ3−βˆ3α=3βˆ2应用数学归纳法可以证明αˆβˆn−βˆnαˆ=nβˆn−1：先设αβˆn−1−βˆn−1αˆ=(n−1)βˆn−2成立，以βˆ左乘上式得βˆαˆβˆn−1−βˆnαˆ=(n−1)βˆn−1则有(αˆβˆ−1)βˆn−1−βˆnαˆ=(n−

3、1)βˆn−1最后得αˆβˆn−βˆnαˆ=nβˆn−1ˆixdix3.求算符Fi=−e和Geˆ=的对易关系。dx解：[,][FGˆˆ=−ieixd,]eix让其作用在ψ()x上，有dxixixdixixd[()]exψψix22d()xixixixixd()ψψxixd()x[,−=iee]ψψ(x)−+ieie=−ieie(x)−iee+ieddxxxddxxdixixix2ixdixix2=−ieieψψ()x=e()x因此有：[,−iee]ψ(x)=exψ()dxixdixix2[,−=iee]edx22dddd4.下列算符中哪些是厄密算符：,,ii4,。22ddddxx

4、xx第1页共18页题解仅供参考,如有问题请联系zhyjiao@126.com,谢谢第三章算符与对易关系习题解门福殿教授著《量子力学》∞∞dd∞解：（1）ψ*φψdx=−*φ(ψ*)dφx∫∫-∞−∞ddxx−∞当，x→±∞ψ→0，φ→0∞∞∞ddd∞d∴∫∫∫ψφ*dx=−(ψ*)dφxx=−(ψφ)*d≠∫(ψ)*dφx−∞ddxx−∞−∞dx−∞dxd∴不是厄米算符dx∞∞dd∞（2）ψ*d*ixφ=−iψφiψφ*dx∫∫-∞−∞ddxx−∞∞∞ddd=−ix∫∫(ψφ)*d=(iψφ)*dx∴i是厄米算符−∞ddxx−∞dx2∞∞dddφψ∞*dφ（3）ψφψ*4dx=−

5、4*4dx∫∫2-∞−∞dddxxx−∞dx∞2∞∞d*dψφd*ψd*ψ=−4dx=−(44dφφ−x)∫∫−∞ddxxdx−∞dx2−∞222∞∞d*ψdd==4dφψx(4)*φdx∴4是厄米算符∫∫−∞ddxx22−∞dx22d（4）对于i，仿照（3）的步骤，可知，不是厄米算符。2dx2d5.下列函数中哪些是的本征函数？2dxx2（1）e（2）x（3）sinx(4)3cosx(5)sinx+cosx22d22d解：①()2x=∴x不是的本征函数。22dxdx22dxxxd②ee=∴e是的本征函数，其对应的本征值为1。22dxdx2dd③(sin)x==(cos)xx−si

6、n2ddxx2d∴可见，sinx是的本征函数，其对应的本征值为－1。2dx2dd④(3cos)x=(3sin)−xxx=−3cos=−(3cos)2ddxx第2页共18页题解仅供参考,如有问题请联系zhyjiao@126.com,谢谢第三章算符与对易关系习题解门福殿教授著《量子力学》2d∴3cosx是的本征函数，其对应的本征值为－1。2dx2dd(sinx+=cos)xx(cos−=sinx）−−sinxcosx⑤2ddxx=−(sinxx+cos)2d∴sinx+cosx是的本征函数，其对应的本征值为－1。2dxˆixd6.求算符Fi=−e的本征函数和本征值。dx解：Fˆ的本征

7、方程为ixdFFˆφ=φ即−=ieφFφdxdφ−−−ixixix==iFedx−=dFe()()d−Feφ−ixlnφ=−Fe+lnc−ix−Feφ=ce（FF是ˆ的本征值）7.对一维运动，求算符pˆ+x的本征函数和本征值。解：设波函数为ψ()x，本征值为λ，则有d(−+ix=)()ψλxx=ψ()dx2dψ11x=−()xλdx积分得：lnψλ=(−+x)C'ψi=i=22ix−−()λx整理得：ψ=Ce=28．若ϕ为Kˆ的本征函数，对应的本征值为λ，且Kˆ=LˆMˆ和[,]