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1、利用空间向量求空间角备课人：龙朝芬授课人：龙朝芬授课时间:2016年11月28日一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题.体会向量法在立体儿何中的应用.二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、而而角的计算，属屮档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决界面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；过程与方法：通过向量这个载体，实现“儿何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和儿何直观能力；情
2、感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步止学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力.四、教学重难点重点：用向量法求空间角一一线线角、线面角、二面角；难点：将立体几何问题转化为向量问题.五、教学过程(―)空间角公式1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线/,加的方向向量分别为异面直线/，加CL2、线面角公式：设直线/为平面&的斜线，a为/的方向向量，"为平面Q的法向量，&为3、而面角公式：设也，直分别为平面&、0的法向塑，二而角为0,则&=〈q，d〉或(需要根据具体情况判断相等或互补)，其中COS仙少2〉=711(二)典例分
3、析如图，已知：在直角梯形OABC中,OA//BC,ZAOC=90,SO丄面OABC,且OS=OC=BC=l,OA=2.求:(1)界面直线SA和OB所成的角的余弦值;(2)OS与面S43所成角q的正弦值；(3)二面角B-AS-O的余弦值.解：如图建立空间直角坐标系,则0(000),4(200),B(1丄0),C(0丄0),S(0,0,l),于是我们有SA=（2,（X—1）,AB=（-1,1,0）,03=（1丄0）,OS=（0,0,1）,（1）cosSAOB2a/10y/5•p25S4OB所以异面直线SA和0B所成的角的余弦值为屮(2)设平面SAB
4、的法向量n=(x,y.z),nAB=0即〃・SA=0,-x+y=0,2x-z=0.取X=1,则y=l,z=2,所以斤=（1丄2）,sine?=cos〈OS,川OSnOSn2_V61x^63(3)由(2)知平面SAB的法向量q=(l丄2),又0C丄平面AOS,:.OC是平面AOS的法向量,V6xl令n.=OC=（0丄0）,则有cos（q/2）=•••二面角ss-。的余弦值为*(二)巩固练习1、在长方体ABCD—ABCD中，AB=29BC=AA.=1,点E、F分别AD.的中点，求:(1)异面直线EF和CD所成的角的余弦值；(2)PG与平面BCX所
5、成角的正弦值;(3)平面ABC］与平面ABCD所成的锐二面角的务弦值./P-解析：以D为原点，分別以射线DA,DC,DD「为兀轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系D-xyz,由于AB=2,BC=AAi=,所以£>(0,0,0),C(0,2,0),E(
6、,l,l),F(
7、,0,
8、),A(l,0,l),B(l,2,0),C,(0,2,1),^(0,0,1),则,乙乙乙乙DC=(0,2,0),AG=(—120),BC]=(—1,0,1),DjC,=(0,2,0).(1)cos〈£F,£>C)EF•DCEFDC2^52R:.异面直线EF和CD所成
9、的角余眩值为亠:5(2)设平面ABC】的法向量〃=(x,y,z),贝！J有-AC.=0,[-X+2y=0,则F，即4?/?BC,=0,[-x+z=0.令x=2,则y=l,z=2,所以h=(2,1,2),又设D.C,与平面所成的角为0，则sin0=£>]C]・nDQn2_12^3-3(3)由(2)知平面ABC】的法向量Hi=(2丄2),又丄平面ABCD,:.DD｝是平面ABCD的法向量,3^1_3令/?2=DD}=(0,0,1),则cos仏,〃2)=2故所成的锐二面角的余弦值为一•32、如图所示，四棱锥P—ABCD,AABC为边长为2的正三角形
10、，CD=^3,AD=l,P0垂直于平面ABCD于O,0为AC的中点，PO=l,求:(1)异面直线A〃与PC所成角的余弦值；(2)平面PA3与平面PCD所成二而角的余弦值.解：(I)如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,因为AD=l.CD=>/3,AC=2,所以55SC专,:.AD//BC.A(0,0,0),3(血—1,0),1,()),D(0,1,0),0,P27则AB=(爲-1,0),CP=ABCP-1V2—，・•・cos〈AB,CP}=——J=-ABxCP2xV24•••异面直线^与PC所成角的余弦值为手(II)设平面法向
11、量为=(x,y]tzi),巧1_n可得宁+尹朽=0，75西-y,=0,令占=1,贝ijq=(1,V3,->/3),又DP=DC=(的，
