解析几何中参数范围问题的求解策略

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1、解析几何中参数范围问题的求解策略解析几何中确定参数的取值范圉是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。很多同学在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，下血我通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，希望同学们能有所收获。背景之一：题目所给的条件利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数Z间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。22例1、椭圆*@>c>b>O,c为半焦距)的焦点为戸、局，点cibP(x,y)为

2、其上的动点，当"PF?为钝角吋，点P的横坐标的取值范围是—o例2、已知梯形ABCD^,AB=2CD，点E分有向线段AC所成的比为2,23双曲线过点C、D、E三点,且以A、B为焦点。当一5久5—时，求双曲线离心34率e的取值范围。背景之二：曲线自身的范围22圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆刍+爲=l(d>b>0)cTb_中，XG[-6Z,6/],yG[-/7,/7],O

3、为2,求加的取值范圉。例4、设椭圆一「+)“=1的两个焦点是F］(_c,0)与F?(c,0)(c>0),且椭m+1圆上存在一点P,使得直线PFi与PF?垂直。(1)求实数加的取值范围；(2)设/相应于焦点E的准线，直线PF?与/相交于Q,若2二=2-馆，I“丨求直线的方程。背景之三：二次方程有解的条件直线和圆锥曲线的关系，是解析儿何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。2例5、给定双曲线x2-

4、^—=}f过点B(l,1)能否作直线Z,使/与所给双曲2线交于P及P2,且点B是线段P屮2的屮点？这样的直线/如果存在，求岀它的方程；如果不存在，说明理由。例6、己知直线l:y=kx+与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B。(1)求实数£的取值范围；(2)是否存在实数使得以线段为直径的圆经过曲线C的右焦点F?若存在，求出R的值；若不存在，说明理由。背景之四：已知变量的范围利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。1、

5、双参数中知道其中一个参数的范围；例7、己知双曲线的中心在原点，右顶点为4(1,0)，点P、Q在双曲线的右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1。(1)若直线AP的斜率为匕且伙左［<3,希］,求实数加的取值范围；(2)当m=V2+1时，APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程。例8、给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点，过点F的直线/与C相交于A、B两点。(1)设/的斜率为1,求页与西的夹角的大小；(2)设~FB=2乔，若2w[4,9],求/在y轴上截距m的变化范围。2、双参数中的范围均未知2例9、设双曲线

6、C:二—)2=1(口＞0)与直线lx+y=1相交于不同的两CT点4、Bq(1)求双曲线C的离心率€的取值范围；(2)设直线/与y轴的交点为P,且M二春两，求d的值。例10、直线y=kx+i与双曲线/_〉，2二1的左支交于人、B两点,直线/经过点(-2,0)和AB的屮点，求直线I在y轴上的截距b的取值范围。背景之五：点在圆锥曲线内部或外部的充要条件如杲我们规定圆锥曲线包含焦点的区域称为圆锥曲线的内部，同时坐标平面被圆锥曲线所划分的另--部分称为圆锥曲线的外部，则不难写出点在内(外)部的充要条件同，以这些充要条件

7、为背景的范围问题利用上述不等式即可获解。X2y2例11、已知椭圆C:—+匚=1,试确定加的取值范圉，使得对于直线23/：y=4x+m,椭圆C上有不同的两点P,Q关于该直线对称。背景之六：三角形两边之和大于第三边椭圆或双曲线上一点与它们的两个焦点的构成一个三角形，具有这一背景的问题往往可以利用三角形两边之和大于第三边产生的不等式来确定参数的范围。V-2V2例12、已知双曲线r—L=/?+)的左、右两个焦点分别为尺、a~b~F2,左准线为I,在双曲线的左支上存在点P,使

8、PFd是P到/的距离d与的等比中项，求离心率

9、e的取值范圉。背景之七：参数的几何意义解析几何是一门数与形相结合的学科，其中许多的变量都有十分明显的几何意义，以此为背景的范围问题只要抓住了参数的儿何意义都可以达到目的。例13、椭圆C的上准线是抛物线x2=-4y的准线，且C经过这条抛物线的焦点，椭圆的离心率e=-f求椭圆的长半轴d的范围。2背景之八：平均值不等式解析儿何的本质是用代数方法研究图形的儿何性质。利用代数基本不等式是求范围的