【精品】线性代数解题心得

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1、数量矩阵是对角矩阵的一种！A-B相似，不管是不是实对称矩阵-定是特征值-样的！仮之？没有实对称这个前提对吗？对比书上195页例14）实对称的更是的！而止负惯性指数前提是二次型函数的，所以一定要实对称矩阵的！标准型不定，可以有很多种，但是不管化成哪种，惯性指数是一定的，一样的！因此判断两个二次型能否相互化成关键是看惯性指数是否一样！这个定理为什么成立？而惯性指数等同（相等）于一个对角矩阵的大于零的特征值！相似（对角矩阵就是相似引出的），合同，和可逆和有特征值的矩阵（可以证明的）二次型的矩阵，矩阵一定是方阵但是线性方程组的矩阵不一定的是。二

2、次型（是指多元的，但是最低和最高次数只有二次的才行！）的秩就是指这个实对称矩阵（说上为了方便要求这样写的，实际上对应的和等于那个数就行）的秩！这个未知数的变量不能因为式子里而的没有这个数就说把这个变量去掉，是不对的，即使线性变化，也还是个数一样的！书上说的任何一个二次型的（当然一般指那个实对称矩阵，但是不是唯一指这个的）都可以通过可逆线性替换化为标准型！题目中的正交变换，一般就是指正交线性变换！实对称矩阵有个特性，就是存在一个■■…见二次型笫无讲！实对称矩阵才有惯性指数，因为惯性指数是来源于化简二次型函数的，指出的！实对称矩阵可以画成规

3、范型的，但是不是随便一个规范型的就是他可以化的，这就要看大于零的个数，相当于两个二次型之间是否可以互相转化！能互相转化的是惯性指数一样！（也就是一个实对称矩阵和一个对角矩阵能够合同的条件是正负惯性指数个数一样，当然不管这个对角矩阵的对角线上的数大小变化和顺序变化了）（）思考方式是这个实对称矩阵先变成一个对角矩阵，然后这个对角矩阵再和它对比，可以用书上的直接找到C的数值了，因为可以直接比如说用Y來代替多少的Z了!二个对角矩阵之间，对角线上的数字顺序变了，则可以说是合同，但是也可以说是相似，（假如说大小不变，但是顺序变了，则可以说是相似，根

4、据视频上说的A-B相似的充要条件是特征值大小一样，A・B合同的充要条件是惯性指数个数一样，是不是这个A和B都是实对矩阵这个前提下？？？？但是特征值一样是性质啊，可以作为充要条件吗？？是对的，因为相似的条件条件和合同一样都是存在一个可逆的矩阵的了，而对于二型的对角矩阵是可以直接找到一个可逆矩阵的，见课本的从标准型到规范型的例子。）因此，如果说一个二次型通过正交变换是成一个对角矩阵，则对角上的数字顺序变化是没有关系的，如变换后的是6Y2!和6Y?—样的！但是这个6不能变的！不能说变成5!鉴于上面的结论实对称矩阵的代数余子式也是实对称的！注意

5、求和公式的写法，对比书上！规范型一般说两个是否相等，实际上等于说惯性指数是否相等，因为都化为对角矩阵后，经过变化要求系数为一，实际上当然惯性指数一样可以说规范性相等了！特征值的问题要好好看看，为什么要特征值，对称矩阵和各种特殊矩阵时，特征值有什么特点？前面视频中，实对称矩阵的对应的可以变化成对角矩阵的那个正交矩阵，可以用特征值来找向量，如果其屮某一个根没有其他的和它相同的了，就直接找了，如果根有相同的，则可以找到，但是二次型的画法:实对称矩阵存在一个止交矩阵使实对称矩阵和化后的对角矩阵相似II合同，但是他不一定正好是找到的正交矩阵，其他

6、的也可以化，那只能是说合同了，特征值问题也无从考虑，但是，二者之间还有关系，那是二次型的实对称矩阵和化后的对角矩阵（不是说任何一个对角矩阵，而是这个对应的化后的对角矩阵，正负惯性指数个数一样，当然实对称矩阵的正负惯性指数（之所以给它叫这个名字，是因为人和一个实对称矩阵有可以化成对角矩阵，而对角矩阵有正负惯性指数，所以它也叫有，当然可以证明（见视频）是等同于其特征值的正负个数的，）等同于其特征值正负个数。但是如果说通过正交变换的（就是这个C是个正交矩阵（那是因为二次型是一个对称矩阵，对于任何一个实对称矩阵都相似于自己对应的一个对角矩阵，同

7、时还存在一个正交矩阵使之能成为对角矩阵），任何一个正交矩阵都满足自身的转置等于自身的逆），则新的矩阵和二次型的实对称矩阵是也相似且合同的！特征值也一样。当然这里也是说化成标准型的，如果化成规范型的就不一定是相似了（其屮一个性质是因为特征值变化了，如杲只是数字顺序变化是可以相似的，但是规范型要求的就是都是单位系数（见上血有个红字的性质）），但是也是合同的，那是因为从标准型化到规范性，也是利用合同的原则的，但是这个C就不一定是正交矩阵了，无法满足C的转置等同于C的逆，（而上述的相似和合同就是利用这一个原理证明出来的！）（如果说是正交变换，则

8、即使化成了规范型的，也说明是乘以正交矩阵的,结果是巧合，当然也满足上面的结论）正交化后的对角矩阵（对角线上的顺序可以变吗？？？变得时候还是合同的，但是相似吗？是的，见上面的红字）大小变化就不是的了。变化后当