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1、2010年井冈山人学数学建模竞赛训练题B题诊断肾炎问题成员：罗隆琪（数理学院）成员：罗隆琪（数理学院）数理学院）钟文（数理学院）黄礼斌（信息科学与传媒学院）黄礼斌（信息科学与传媒学院）诊断问题摘要本文首先提出Mahalanobis距离判别法和Fisher判别法判别属于肾炎病人或非肾炎病人，根据己确诊的病例的化验结果分别列出Mahalanobis距离判别法和Fisher判别法的判别函数。然后将已确诊的病例化验结果数据回代入判别函数中,得到Mahalanobis距离判别法判别法的回代准确率为95%回代效果高,Fisher判别法的冋代准
2、确率为90%准确率也较高。且通过观察冋代函数值知在Mahalanobis距离判别法中可根据判别函数值的正负判别是肾炎病人还是非肾炎病人，判别函数值为正表示为肾炎病人，为负则为非肾炎病人。在Fisher判别法中首先我们计算出它的阀值y0=2.87x106,代入判别函数其值小于阀值的为肾炎病人，大于阀值的为非肾炎病人。对于判定表二小的30名就诊人员的是肾炎病人还是非肾炎病人的问题，我们将表二中的就诊人员的化验结果数据分别代入Mahalanobis距离判别法和Fisher判别法的判别函数中，得到了结论。①运用Mahalanobis距离判
3、别法得出的结果为：肾炎病人：61,62,64,65,66,6&69,71,72,73,75,7679,83,85；非肾炎病人:63,67,70.74.77.7680.81.82.84.86.87.86；②运用Fisher判别法得出的结果为：肾炎病人：61,62,63,64,65,66,67,6&69,71,72,73,76,77,78,79,83,85,87；非肾炎病人:70.74.75.80.81.82.84.86.88.89.90；就问题三确定哪些指标是影响人们患肾炎的主要因素，我们采用主成分分析法进行分析，再利用MATLAB
4、进行求解。可取到前两主成分，即：Y1二0.015x1+0.010x2+0.019x30.994x40.103x5+0.026x6+0.015x7Y2=0.048xl0.013x2+0.023x30.019x40.066x5+0.501x60.861x7故可判定Ca、Na、K、Mg.Zn是影响人们患肾炎的关键或主要因索，求得：Y1=0.015225xl0.99409x40」0324x5+0.025867x6+0.015009x7而问题四跟据问题三的结果和患病与非患病的特点判定6190号病例是否患病:肾炎病人：61,；62646566
5、676869727376非肾灸病人:63,70,71,74,75,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90；最后,通过对Ca的分析，分别对Mahalanobis距离判别法、Fisher判别法和主成分分析法进行数据处理、比较，得出主成分分析法得出的结杲是最准确的，Mahalanobis距离判别法其次。关键字Mahalanobis距离判别法、Fisher判别法、主成分分析法一、问题的重述・1・人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生的诊断。诊断就诊人员是否患肾炎时通常要化验人体内各种元素
6、含量。表1是确诊病例的化验结果，其中1—30号病例是已经确诊为肾炎病人的化验结果；31-60号病例是已经确定为非肾炎病人的结果。表2是就诊人员的化验结果。我们的问题是：1.根据表1中的数据,提出一种或多种简便的判别方法，判别属于肾炎病人或非肾炎病人的方法，并检验你提出方法的正确性；2.按照1提出的方法，判断表2屮的30名就诊人员的化验结果进行判别，判定他(她)们是肾炎病人还是非肾炎病人；3.能否根据表表1的数据特征，确定哪些指标是影响人们崽肾炎的关键或主要因素，以便减少化验的指标；4.根据3的结果，重复2的丁•作；5•对2和4的结
7、果作进一步的分析。病例表详见附录。二、模型的假设和符号说明2」模型的假设(1)两总体肾炎病人和非肾炎病人化验结果中各元素的期望值，标准差利由数据给出的样木的统计量是一致的；(2)两总体的各元索服从正态分布；(3)两总体肾炎病人和非肾炎病人的数量Z比为一个确主的值；(4)化验结果屮每个元素的值Z间没有影响。2.2符号的说明xj表示表屮各元素的编号(j=1,2„7)；x(i)表示各个总体的样本均值向量(i=1,2)；si表示各总体的离差矩阵；y0表示阀值；v表示总体的协方差矩阵。其它变量符号在文中使用时给出说明。三、问题的分析3.1问
8、题一、二的问题分析问题一、二的问题分析：对于判别属于肾炎病人或非肾炎病人的方法的问题，我们选用Mahalanobis距离判別法和Fisher判别法进行判別，首先我们考虑运用Mahalanobis距离判別法并根据已给的确诊病例的化验结果的特征对表二中
