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1、振动与冲击第25卷第3期JOURNALOFVIBRATIONANDSHOCKVol.25No.320063希尔伯特2黄变换的统一理论依据研究1,23钟佑明秦树人(1.重庆交通学院计算机与信息学院,重庆400074;2.重庆大学博士后流动站,重庆400030;3.重庆大学机械学院测试中心,重庆400030)摘要希尔伯特2黄变换(HHT)是上世纪末出现的一种分析非线性、非平稳信号的有效新方法,但其理论依据还不太明朗,尤其缺乏统一理论依据。从分析HHT的基本模式函数(IMF)定义入手,在Hilbert变换的Bedrosian乘积
2、定理基础上提出了Hilbert变换的局部乘积定理,采用理论推导和物理意义分析相结合的方法对其进行了论证。然后应用这一定理对HHT中的IMF定义、瞬时频率计算公式、经验模式分解(EMD)方法及其收敛性等问题给出了统一解释,从而初步为HHT提供了一个统一理论依据。关键词:希尔伯特2黄变换,统一理论依据,局部乘积定理,经验模式分解中图分类号:TH115文献标识码:A小值点分别确定的上、下包络线均值为零,即信号关于0引言时间轴局部对称,如图1所示。希尔伯特2黄变换(Hilbert2HuangTransform,简称HHT)是美国科
3、学家N.E.Huang等人于1998年提出的[1]又一种分析非线性、非平稳信号的新方法。目前发现它在机械、交通、海洋、医学、电力等许多领域都具有[226]很高应用价值。但其理论依据还不太明朗,尤其还缺乏统一理论依据,使其在应用中效果不是很稳定,影图1一个IMF响着其发展和应用。1HHT的主要内容N.E.Huang等人认为,IMF是瞬时频率唯一的信号,且其瞬时频率可以通过Hilbert变换(简称HT)计非线性、非平稳信号分析的主要目的是揭示信号算。即假设c(t)是一个IMF,对c(t)作HT得频率的时变规律。这种规律虽然目前
4、可以通过短时傅∞1c(t2τ)立叶变换、Wigner2Ville分布、小波变换等时频分析法进H[c(t)]=c(t)3=P.V.∫dτ(1)πt2∞πτ行分析,但这些方法都是通过幅值谱来展示频率变化其中P.V.表示柯西主值积分。于是c(t)的解析信号规律的,都是以傅立叶变换(简称FT)为最终理论依z(t)=c(t)+jH[c(t)](2)据,因而不可避免地会遭受FT分析非线性、非平稳信根据解析信号,c(t)可以表示成[1]号的缺陷,如出现虚假频率,因此只能粗略揭示信号c(t)=a(t)cos<(t)(3)的频率变化规律。正
5、是在这一背景下,N.E.Huang等其中幅值函数a(t)和相位函数<(t)分别为人创造性地提出了基本模式函数(IntrinsicModeFunc222a(t)=c(t)+H[c(t)](4)tion,简称IMF)概念和经验模式分解(EmpiricalMode<(t)=atan(H[c(t)]/c(t))(5)Decomposition,简称EMD)方法,从而发明了HHT。这由相位函数即可求得c(t)的瞬时频率是一种以瞬时频率为核心概念的方法,理论上能精确if(t)=(1/2π)d[<(t)]/dt(6)给出信号中频率随时间
6、变化的规律,避免虚假频率等N.E.Huang等人还提出了将任意信号分解成IMF冗余现象。的方法———EMD,其步骤是:对任一待分析信号s(t),HHT假设任何信号都由基本信号—IMF组成,IMF首先将其所有极大值点和所有极小值点分别用两条三相互重叠便形成复合信号。其中IMF定义为满足以下次样条曲线拟合起来,使两条曲线间包含所有信号数两个条件的信号:a.整个信号中零点数与极点数至多据,从而得到s(t)的上、下两条包络线。用m(t)记包相差1;b.信号上任意一点,由局部极大值点和局部极络线的平均值,令h(t)=s(t)2m(t
7、),则h(t)为一个近3基金项目:国家自然科学基金资助项目(No.50275154),重庆交通学院博士基金资助项目收稿日期:2005204221修改稿收到日期:2005207215第一作者钟佑明男,博士,副教授,1970年8月生第3期钟佑明等:希尔伯特2黄变换的统一理论依据研究41似IMF。将h(t)视为新的s(t),重复以上操作,直到当H[c(t)]=H[a(t)cos<(t)]h(t)满足IMF的条件时,就得到s(t)的第一阶IMF=a(t)H[cos<(t)]=a(t)sin<(t)c1(t),即(10)c1(t)=
8、h(t)(7)z(t)=s(t)+jH[s(t)]再令=a(t)cos<(t)+ja(t)sin<(t)j<(t)r(t)=s(t)2c1(t)(8)=a(t)e(11)将r(t)视为新的s(t),重复以上过程可依次得第二阶式(10)和(11)表明:对形如式(3)的实信号c(t),IMFc2(t),第三
