三角形和特殊三角形

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1、三角形和特殊三角形主讲：高金凤旧知回眸本专题的内容分别在苏科版教材七年级下册第7章《平面图形的认识（二）》第4、5节、八年级上册第1章《轴对称图形》第4、5、6节和第2章《勾股定理与平方根》第1、2节，主要研究三角形与特殊三角形的概念、性质和判定方法。1、三角形的知识结构（1）三角形三条边之间具有什么关系？怎样把握？三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．掌握和灵活运用这个关系可以解决与之相关的许多问题．注意已知三角形的两边长求第三边的取值范围时，一定要同时考虑第三边大于另两边之差，小于另两边之和；在三角形三边的大小关系可确定

2、的情况下，也可用较小的两边之和与第三边比较，判断其是否满足三角形的三边关系。2、要点归纳例1.一个三角形的两边长分别为5cm和11cm，那么第三边的长度在以下选项中只能是()3cmB.4cmC.5cmD.7cm【点拨】根据三角形三边之间的关系，第三边长的取值范围是大于6cm,小于16cm,故选D.【点评】本题考查了三角形三边之间的关系，考查一般有以下呈现方式：①已知两边，求第三边的可能取值；②给定三线段的长度，判断能否构成三角形；③已知三角形的三边长分别为a、b、c，判断“a+b+c、a+b-c、a-b-c”正负性.（2）怎样认识三角形的三个内角之间的关系？“三角

3、形三个内角和等于180°”，是三角形中角与角之间的一个重要关系，根据这个关系可得：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角和，三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角；③一个三角形中最多只有一个直角或钝角．因此，三角形按角的大小分类可以分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，三角形三个内角之间的关系有着广泛的应用．在解决和三角形有关的问题时，内角和等于180°，是一个非常重要的等量关系，我们常利用它来得到和角有关的方程(组)，从而可把和三角形有关的几何问题转化为方程(组)的代数问题来解决．（3）三角形的角平分线、中线和高线有

4、什么区别？三角形的角平分线、中线和高线都是三角形中的重要线段．每个三角形都有三条角平分线、三条中线、三条高，它们之间的相同点：①都是线段；②都是从顶点画出；③都能交于一点．不同点：①角平分线平分内角，中线平分边，高垂直于边；②三角形的角平分线和中线都是在三角形的内部，直角三角形有两条高都在边上，钝角三角形有两条高在三角形的外部．三角形的形状未知时，三角形高的位置也未知，需要分类.例2.为美化小区环境，某小区有一块面积为160m2的等腰三角形草地，测得其腰长为20m，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则栅栏的长度为ｍ．【点评】草地的形状是等腰三角形,可以是锐角

5、三角形也可以是钝角三角形，因此需要分两种情况：①高在三角形的内部,如图１,AC=20m，CD=16m,于是可得AD=12m,BD=8m,BC=m,周长为(40+)mD图1-(1)CBA②高在三角形的外部，如图2，AC=20m,CD=16m,于是AD=12m,BD=32m,BC=m,其周长为(40+)m.【点评】本题的条件中潜藏着图形的不确定因素：“等腰三角形的顶角是锐角、还是钝角”，因此需要分情况画出图形，运用勾股定理进行计算.图1-(2)DCBA（4）怎样把握等腰三角形？①等腰三角形的分类：可分为一般等腰三角形（腰和底不等）和特殊的等腰三角形（三边都相等的等腰三

6、角形）即等边三角形．另外顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．②等腰三角形的性质及其两个推论．性质：等腰三角形的两个底角相等．推论1：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，即“三线合一”．推论2：等边三角形的各个内角都相等，即每个内角都等于60°．例3．如图2-(1)，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90º，O为BC中点，以O为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于M、N点。(1)请猜想△OMN的形状，并证明你的猜想；【点拨】(1)根据等腰三角形的“三线合一”，连接AO，易得△AMO≌△CNO,所以OM=ON，∠AOM=∠CON,所以∠AOC=∠MON

7、=90°，所以△OMN是等腰直角三角形；NMOCBA图2-(1)(2)将∠MON绕点O旋转，使其两边分别与BA、AC的延长线相交于点M、N，如图2-(2),试问(1)中的结论是否仍成立，并说明理由。【点拨】(2)根据等腰三角形的“三线合一”，连接AO，易得△AMO≌△CNO,所以OM=ON，∠AOM=∠CON,所以∠AOC=∠MON=90°，所以△OMN是等腰直角三角形。ONMCBA图2-(2)【点评】判断三角形的形状一般从两个角度入手：①边的特征；②角的特征.等腰三角形中遇底边的中点通常想到“三合一线”.图形旋转变化是几何问题拓展变式的重要策略，因此把握图形旋转

8、的特征有助