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1、函数交汇性热点考点剖析三水中学张启凡(本文发表在［J］《广东教育高屮》2007,5)函数是贯穿中学数学的一条主线，函数、方程皆为主干知识，其知识网络交汇点多、渗透性强，已成为高考命题的一个重要方面•高考一般利用选择、填空题进行基木思想的考查，而在解答题屮，则从深层次、高观点着手，突出能力立意的前提下，在函数与方程、与不等式、与导数及数列等知识交汇处创新，设置情景新颖的把关题，从思想方法与相关能力的层而上进行综合考查.本文主要揭示函数与方程考题的几个交汇点，供参考.1函数与方程相互交汇函数与方程密不可分，y=/(%)的零点是方程/(x)=0的解，即/(劝的图
2、像与兀轴的交点坐标；方程/(x)=g(兀)的解就是函数/(对与g(对图像交点的横坐标.方程中确定参量的范围或根的讨论问题，常化归为函数问题，利用函数的图像和性质求解.例1关于x的方程(x2-l)2-
3、x2-l
4、-f-^=0,给出下列四个命题：存在实数使得方程，①恰有2个不同的实根；②恰有4个不同的实根；③恰有5个不同的实根；④恰冇8个不同的实根；其屮真命题的是(填上所有真命题的方号)••解析设r=1x2-11(r>0)12为方程(1)；贝ij有(2+&=(),即k=-t2+ri£观察图像(b),当0vkvl/4时，方程(2)在(0,1)有两根，由图(a)得
5、方程(1)有8个根；同理，当£=0时，r=0和1,显然(1)有5个根；当£=1/4吋，1=1/2,得(1)有4个根；当R<011寸，(2)在(1,+oo)有1根，则(1)有2根.故命题全为真.点评：此题是讨论方程根的个数问题，通过引参换元，构造两个函数分散了难点，再借助函数大致图像，观察方程根的个数变化情况，优化了解题效果.若直接分类化为高次的分段函数，难度较大.例2对于函数/(x),若存在gR,使.fOo)=x0，则称兀0为/(%)的不动点.已知/(x)=ax2+(b+l)x+(b—l)(a丰0).(1)若对任意的实数b,门对恒有两个不动点，求。的范围；
6、(2)在(1)的条件下，若/(兀)图像上两点的横坐标是/(兀)的不动点,且关于直线y=也+1/(2/+1)对称，求b的最小值.解析(1)f(x)有两个不动点,即方程f(x)=x^ax2+bx+b-l=0有两个不等实根•则有b2-4a(b-l)>0,因为bwR,所以(4a)2-4(4^)<0,解得0VQ<1•(2)由不动点定义可设人(旺,坷),3(兀2，兀2)，则坷，兀2为为方程ax2+bx+b-=0的两根•因AB斜率为1,由条件可得k=-i・设A,B的中点为E,由xe=)'e得则其坐标为2a2a2a~+1h=__=__>__L=_V2,26/2+12a+
7、l/a~2^24'Ji•:当Q=—时，^min点评：此题是一道信息阅读题，正确理解“不动点”的定义是构造方程求解的基础；注重一元二次方程根的讨论是进一步解题的关键；找出等量关系建立方程，并将b转化为关于Q的函数的最小值问题是解题的重要策略.2与不等式交汇函数、方程、不等式间联系密切，相互渗透.不等问题中，求变量的范围、比较大小或证明不等式，常通过构造函数，利用函数性质及图像，优化解题效果.例3定义在上的函数/(x)满足/(x)=/(x+2),当兀“3,5］时，/(x)=2-lx-4l,贝9()TT7TA./(sin—)
8、s3)/(cosl)D.f(cos2)>/(sin2)解析去绝对值符号得/(x)=J由fM=f(x+2)得周期[x-2,30)»,f(兀)的导函数是.f(x)‘对任意两个不相等的正数xpx2,证明:当心4时，If(m)-f
9、(兀2)1〉1州-兀2匚解析此题若直接分类去绝对值符号，难度大.先整体转化，并观察不等式两端的形式化特征，再准确捕捉变化的着力点，选择最优化的解题过程.rh/(%)=x2+—4-tzlnx得/⑴=2x-—xx~X贝Ijlfd)—f(%2)l=Z—兀」12+斗工一旦IX］X2只需证
10、2+2(二+〕)_旦
11、>1即可x{x2只要不等式2+如+：2)_旦>1成立，则上式成立X
12、%2兀1兀2即兀］兀2+2*+')〉aO彳卅一妙兀2+2(兀］+■¥?)〉0(*)成立。54二>-ax}x2>-4x,x2,X］贝
13、J冇X
14、2%2一axX2+2(兀1+兀2)>XX2一4
15、x,x2+4要证(*)成立，只需证X^x；-4%!x2+47x］X
