数学物理方程卷a及答

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1、诚信应考，考试作弊将带来严重后果!华南理工大学期末考试《数学物理方程》试卷A注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；2.所有答案请答在试题卷上；3.考试形式：闭卷；4.本试卷共七大题，满分100分，考试时间120分钟。题号二三四五六七总分得分评卷人・填空（40分）1.二阶线性偏微分方程jWvv+2anuxy+a22uYy+b}ux+h2uy+cu=f在某点为双曲型的判别条件是在该点处（△二彳2-如。22>0）。2.四种固有值问题（1）X"O)+/lX(x)=0X(0)=X(/)=0X"(x)+/lX(x)=0X'(0)=X(/)=0箱(蜃他Eg逐轲囹)X"

2、(兀)+2X(x)=0X(0)=X'(/)=04•由泊松公式三维波动方程初值问题的固有值都记为九hX'(x)+AX(x)=0X'(0)=X'(/)=0(1),(2),(3),⑷的固有函数X“O)分别为sincoHx.cosa)nx,sinconx,cosconx,其中△ei斗/n兀、/（2〃+1）龙、z（2n+1）龙、〈n兀、©分别为（〒），（r^）‘（T）o3.表达波动方程初值问题严=几”00v兀v+吋>°的解的达朗贝尔公式是也（兀,0）=0（兀），均（兀,0）=0（兀）（心D=叭—a*丄厂（⑵血）。22qJe尸血=夕(％+知+伦),w,y,zv+r〉0

3、的解可表示为u(x,y,z,0)=0(圮y,z)9ut(x,y,z,0)=0（U（x，y，z）=〒（I?）,其中表示以M（x,y,z）为球心,uiQ兀aI胡以m为半径的球面。5.函数（〃0=丄（心0））称为三维拉普拉斯方程wvv+uvv+u„=0的基本解。rAw=0,（x,y,z）eQe.根据调和函数的性质，诺伊曼问题aw有解的必要条件是plr=/（兀,y,z）on（Jj/（x,y,z）dS=0）or7设函数G（M,M（））=—1——u为区域Q上的格林函数，则Q上的狄利克雷问题蔦0,（::y,z）eQ的解可表示为（“（％）=_ff心,％z）竽dS）。8.贝

4、塞尔方程+（x2-5）y=0的通解是（y（x）=A/、§（x）+3/亦（兀））。二（10分）将方程血_兀％=2化为标准形。答（P18例1）：A=a^2-ci}]a22=x2y2>0,x0,y0.当xH0,yH0时，方程为双曲型，特征方程为y2dy2-x2dx2=0积分曲线为17121912-y--x=e19-y+-x=c2作变换12171?12s=—y——xt=—y+—x.2222则ux=一X比+xut,Uxx=+比$一2x2Ust+x211it-Us+终，竹=y叫+w，Uyy=y2usS+2b%+y2Ut(+比+U,.于是-x2uyy=-4x2y2us

5、l-(x2+y2)us+(/-x2)uf,又兀$+y2=2r,y1-x2=2$,(2s)2一(2/尸=-4x2y2,故原方程化为4(/_t2)ust-2tus+2su{=2,即ust=石丄石us-2($2打2)终+£•utt=a2uxx,(00),三.(10分)求解问题它w(0,r)=0,w(/,r)=0,ow(x,0)=sin—,ut(x,0)=sin—.答(p56习题二，1(1))：用分离变量法.特征值和特征函数分别为4=(牛几X“(x)=sin竽.”田斗/八/兀at1•兀皿、•7rx结果为"(兀昇)=(cos+——sin)sin——•I

6、兀aIIun=a2uKS+1sin—,(0v兀v/,/>0),I四・(10分)用固有函数法求解比(0,t)=0,心)=0,(/>0),w(x,0)=0,uf(x90)=0,(0°)Iu(x.0)=sinx.F'x[厂肚

7、=—。2aj7rt答(类似p85习题三9及p74例1)：F[u(x,t)]=U(入t)9F[sinx]=①(2).仍(入/)二_亍&(入"v

8、dt,(7(2,0)=0(2).]u(x,t)=sinx*-r=e仏弓2a/7rt]*(5话Lsg曲d"si哄e六.(10分)求解泊松方程边值问题答(类似pl05例5例6):显然泊松方程有一特解w=-2(x2+y2+z2).,99fAv（x,y,z）=0,令u=v-2（x2+y2+z2）,则问题化为拉普拉斯方程边值问题,律［叫+24=6由极值原理，v=16.所以原问题的解为U=16-2（兀$+护+z2）.91ut=a~(urr+一wr),(00)r五.(10分)求解圆盘的热传导问题<«(1,/)=0,w(r,0)=1-r2.答(pl22例1

9、)：w(r,f)=R(r)T(t).厂+加2丁=()

10、/?(!)=