高数易混概念

《高数易混概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限亠、数列极限大小的判断例1:判断命题是否正确.若xN),且序列nnX,y的极限存在,nnlimx=A,limy=B^UA0因此，limXin二、无界与无穷夫无界：设函数lim(anXn)0得limynn再利用lim(ynn11>f(x)的定义域为D,如果存在实数a§所以选项A.则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就成函数£&)在火上无界；也就是说解答：不正确.在题设下只能保证A-B,不能保证A

2、

3、定收敛于aD.都发散

4、n2,当n时，luTKf(x)+—=+□€liryk(2n)n=2limf(yn)Ln故f(x)在x0邻域无界，但x0时f(x)不是无穷大量，则①不正确.由定义，无穷大必至界，故②正确.结论q无穷大必无暑乂而无界未必无穷大.三、函数极限不存在械限是无穷大当XX(或X)时的无穷大的函数f(x),按函数极限定义来说，极限是不存在0的，但是为了便于叙途函•数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大"代表其极限是无穷虫I

5、x+1例5：函数f(x)・但极限不存在并不0=x1x>00°T，当x0时f(x)的极限不存在.=8四、如果lim』丿(x)XX—'00不能退出例6：f(x)点均没有定义,0故无法苻论

6、T结论：X为有理敬丁X为无理数=1f(x)0limXX0则1lirwf(x)0,但由于在x0的任一邻域的无理xof(x)0的极限.O0如果lim()fxXX0f(x)X的某一去心邻域内满足f(x)0,则在01limXXf(X)0五、・反之，fix)为无穷大，则1为无穷小。f(x)求函普姿某煮处极眼吐要注意其左右极限髡否相等无穷大和琏穷大时极擁否相等。求无穷大处极限要注意自变量取正x0使用等价无穷小〉一+例7.求极常

7、jmXxt=xe,lim~ex0X解：limX,lim0Xe极限不存在。eXeX,因而x时1limexTX一厂園而X10时e极限不存在。X1=+oO六、(1)乘除运算中可以使用

8、等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。(2)注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换例&求极限limx0x1)(1x1),再用等价无穷小替换就分析一：若将1X会导致错误。分析二：用泰勒公式I+22例10•设f(x)°1Tsinx11f(x)g(xLf(x)TI11若设f(X)0Xx=00在x0连续。

9、°,f(x)在x0间断，但2()°―fX,g(x)sinx,则f(x)在x0间断，g(x)在xT_0连续,limx(2)“f(x)在x点连续"是“f(x)在Xo点连续"的充分不必要条件。0分析：由“若limf

10、(x)a,贝！Jlimf匕)X0)1占在x0均连续。a”可得“如果因此，仁耳在乂点连续，贝0f(X)在X点连续。0limf(x)f(x),则0xx0再由例10可得，f(x)XX0在Xo(3)⑴在乂点连续并不能推出f(x)在Xo点连续。X连续，f(u)在UUo0(Xo)连续,则f((x))在XX连续。其余01X1X(1XX(X))22!+—+1「)-卜o-12222十/°X(X))222!——+O1224X(X)122原式