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《中考数学复习指导：利用已知条件构造辅助圆》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、利用已知条件构造辅助圆圆是初屮数学的重要内容之一，也是屮考的热点内容•在儿何问题中，若能充分利用已知条件，构造辅助圆，常常可以避繁就简、化难为易，本文举例如下，供同学们参考.例1如图1,OA=OB=OC,且ZACB=30°,则ZAOB的大小是()(A)40°(C)60°(B)50°(D)70°图1解JOA=OB=OC,・•・A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上，作G)O・・・・ZACB和ZAOB是同弧所对的圆周角和圆心角，HZACB=30°,・•・根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得ZAOB=60°.故选C.例2
2、在平面直角坐标系兀Oy中，满足不等式F<2兀+2y的整数点坐标(.刃的个数为().(A)10(B)9(C)7(D)5解析由x2+/<2x4-2^,得(兀—l)2+(y—l)2s2.它表示以点(1,1)为圆心，、伍为半径的圆内，画图2可知，这个圆内有9个点符合题意：(0,2),(0,1),(0,0),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2).故答案为B例3在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)、B(-6,0)，点C是〉，轴上的一个动点，当ZBCA=45°时，点C的坐标为.思路点拨构造含有90°圆
3、心角的OP,则OP与)，轴的交点即为所求的点C.注意点C有两个,如图3,图4所示.解设线段BA的中点为E,：•点A(4,0)、B(-6,0),・・・AB=10,E(-1,0).⑴如图3所示，过点E在第二象限作EP丄BA,且EP=-AB=5，则易知APBA为2等腰直角三角形，ZBPA=90°,PA=PB=5>/L以点P为圆心，PA(或PB)长为半径作OP,与y轴的正半轴交于点C.VZBCA为OP的圆周角,AZBCA=-ZBPA=45°.则点C即为所求.2过点P作PF丄y轴于点F,则OF=PE=5,PF=1,在RtAPFCPF
4、=l,PC=5jL由勾股定理，WCF=PC2-PF1=7,・・・OC=OF+CF=5+7=12,・••点C坐标为(0,12).(2)如图4所示，在第3象限可以参照(1)作同样操作，同理求得)•，轴负半轴上的点C坐标为(0,-12).综上所述，点C坐标为(0,⑵或(0,・12).点评本题难度较大.由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在.114例4ZABC中，已知——+——=——，且b=4,则a+c=.ACBtan—tan—tan—222解如图5,设AABC内切圆为O/,半径为r,G7与BC,
5、CA,AB分别相切于点D,E,连结IA,IB,IC,ID,IE,IF.由切线长定理,得AF=p・a,BD=p-b,CE=p-c,英中,p=」(a+b+c).在RtAAIF中,IFArtanZ/AF二，即tan—=AF2p-a同理，Brtan—=2p-b因此，讪£=厶.代入已知等式，得口+匕=4(P-b),2p-crrr十兮+2心D图5■■■・/!例5已知:AD是AABC的中线，若ZABC+ZCAD=90°.试判断AABC的形状.思路点拨作AABC的外接圆，使分散的ZABC,ZCAD集中在一起，从而知道中线AD在外接圆的直径
6、上.根据圆中弦的定理，可判断AABC的形状.解：如图6,作厶ABC的外接圆.延长AD交外接圆于E.连结BE.VZEBC=ZCAD,又ZABC+ZCAD=90°ZABC+ZEBC=90°，即ZABE=90°,AAE是ZABC的外接圆的直径.又AD是BC边上的中线，所以，⑴当BC不是外接圆的直径时，即BC为弦,则AD丄BC,AD是BC边的中垂线，AABC为等腰三角形；（2）当BC是外接圆的直径吋,ZCAB=90°,AABC为直角三角形.
