第06讲函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练

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1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法【知识要点】一、判断函数单调性的方法判断函数单调性一般有四种方法：单调四法导数定义复合图像1、定义法用定义法判断函数的单调性的一般步骤:①取值，设坷,兀2WD，且西＜兀2；②作差，求/（不）-/（乞）；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断/（X,）-f（x2）的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.2、复合函数分析法设尹=/（w）»u=g（x）x^[a,b]9ug[m,n都是单调函数，则y=f[g（x）]在[a,创上也是单调函数，其单调性由“同增

2、异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：u=g(x)y=fMy=f[g(x)]增增增增减减减增减减增3、导数判断法设/（兀）在某个区间（％）内有导数fx）,若/（兀）在区间@上）内，总有广（无）＞0（/©）v0）,则于（兀）在区间（＜7,Z?）±为增函数（减函数）.4、图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.二、证明函数的单调性的方法证明函数的单调性一般有三种方

3、法：定义法、复合函数分析法和导数法•由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.三、求函数的单调区间求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像1、定义法：由于这种方法比较复杂，所以i般用的较少.2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.3、导数法:先求函数的定义域D,然后求导广(尢)，再解不等式广(x)>(<)0，分别和D求交集，得函数的递增(减)区间•4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函

4、数的单调区间.四、一些重要的有用的结论1q1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数y=—、y=x和〉，=兀3；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数y=x2.2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数x增函数不一定是增函数，函数y=x和函数y=都是增函数，但是它们的乘积函数y=不是增函数.3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循"函数问题定义域优先的原则”.4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题.5、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接

5、，只能用逗号隔开.如函数y=/(x)的增区间为(1,2),(3,5).不要写成(1,2)(3,5).【方法讲评】方法一定义法使用情景一般适用于结构较简单的函数.解题步骤①取值，设XpX2GD,且Xj0)在区间(丽,xo)是增函数.【解析】设石V西

6、x2一XiXxi花-a）•:爲0xxx2>a:./(x2)一/(xx)>0-•-函数/(x)=x+£(a>0)在区间(JN+x)是増函数.X【点评】（1）本题就是利用泄义判断函数单调性的典型例题，其中关键是第三步变形，多利用因式分解等知识，但是一定要变形到最后能判断它的符号为止.（2）有些同学在判断/（^）-/（%2）的符号吋，没有利用到西,兀2wD，且西<卷,一般情况下是有问题的，必须利用这些条件你才能确定于（西）-/（£）符号.学•科.网【反馈检测1】讨论函数/（兀）二竺±1（心丄）在（-2,+00）上的单调性.x+

7、22【例2】已知函数于(兀)的定义域是兀工0的一切实数，对定义域内的任意石,冷，都有/(xIx2)=/(xl)+/(x2),且当兀>1时f(x)>0,/(2)=1.(1)求证/(x)是偶函数；(2)/(x)在(0,+oo)上时增函数；(3)解不等式/(2x2-1)<2.【解析】⑴令兀严吃=1.-./(1)=/(1)4-/(1)5)=0令西=七=—1A/[(-l)x(-l)]=/(-l)4-/(-l).-.0=2/(-1)・••/(-1)=0令占=无勺=_1/[XX(-1)1=/(X)+/(-I).・./(-X)=/(X)・•./(>)是偶函数⑵设¥

8、

9、>x.>0/.f(x})-f(x2)=f(x2—)-/(x9)=/(xJ+/(—)-fMx2x2=/(—)州>吃>0•*