数学建模论文 古塔的变形

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1、古塔的变形山东省莱阳市第一中学63级21班徐佳庆指导老师姜成功摘要本文对古塔的各层中心坐标，倾斜、弯曲、变形问题，采用数据插值、最小二乘法、回归分析法及Excel软件与Matlab软件，进行求解，具体步骤如下：1．第13层中第5个观测点空白数据处理对1986年和1996年，第13层中第5个观测点进行了估计，采用数据插值方法中的3次样条插值，算出1986年数据分别为566.308，519.7624，52.7686及1996年数据568.0575，519.7562，52.7657。2．模型建立及求解各层中心坐标将空间中每层观测的点分别投影到,,各平面，通过最小二乘

2、法确定出以投影的点为中心的中心直线，以三条直线为母线做平行于三角坐标的平面，求解三个平面的交点即为中点的坐标。利用Excel及Matlab软件求解出各层中心坐标。3．古塔倾斜分析将古塔各层相邻的中心坐标连接起来，构成空间向量，通过求解向量的夹角、、来确定古塔的倾斜情况。计算与仿真结果表明，古塔中心各层间都有倾斜，但在8-9层，12-13层时倾斜更为严重。4．古塔扭曲，变形分析将中心坐标投影到面，计算相邻层上投影点构成的直线的斜率，得到夹角。该角度说明了中心发生倾斜时的方向、角度大小描述了扭曲程度大小。结果表明古塔朝着平面的第四象限偏移大。5．古塔变形预测采用多

3、元回归分析法，根据最小二乘法原理，拟合出古塔最终变形的趋势。从图中可以看出古塔是各层不断的发生变化。并且在8-11层变形严重。关键词：中心直线插值曲线拟合回归分析一、问题重述12由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以

4、下问题：1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3.分析该塔的变形趋势。二、模型假设1．假设对模型计算结果均保留四位有效数字，不影响其变形趋势；2.假设任意两层中心的连线为直线时，考虑其倾斜程度；3.假设任意两层中心的连线为曲线时，考虑其弯曲、扭曲程度。4.假设古塔是规则图形；5.假设古塔刚建好时地面平坦没有倾斜和扭曲。三、符号说明1．，表示空间中点的坐标；2.为投影平面直线方程的参数；3.表示空间投影到平面上的各点距离之和的最小值；4.三个平面的交点；5.、、（，，）表示向量的方向

5、角；6.两点构成的直线的倾斜角；7.回归中未知参数。四、模型建立及求解121.中心位置模型建立以古塔其中一层为研究对象，建立中心位置的数学模型。设，是古塔第层的观测的数据，为空间中的点。首先，将，投影到平面上，得到观测数据记为，。在平面直角坐标系中，建立以这些点构成的中心直线方程，记为，要求使各点，到直线的距离之和最小，即用最小二乘法。将问题转化为求解的最小值。由二元函数极值原理，令即可求得，确定出直线方程（1）同理，将，投影到平面上，得到观测数据记为，。采用二元函数极值原理，可确定出直线方程（2）将，投影到平面上，得到观测数据记为，。可确定出直线方程（3）确

6、定出的这三条直线（1）、（2）、（3）在空间分别表示三个母线依次平行于三个坐标轴的平面。求解出三个平面的交点，就是我们要找的每层的中心，记作。2.模型求解（1）题目中给出的1986年和1996年观测数据中，第13层中第5个观测点没有数据。利用数据插值的方法，将这个数据估计出来。在此，利用Matlab中3次样条插值，给出缺失数据。调用函数spline，数据计算如下所示：（计算的缺失数据加黑显示）表一1986年第13层观测值表二1996年第13层观测值13层x/my/mz/m121566.308525.09252.8662564.716523.61652.8783

7、564.418521.52152.8974565.91519.89352.885566.308519.762452.76876569.701521.0552.7037569.897523.18852.7948568.582524.82252.82213层x/my/mz/m1566.3142525.085752.8642564.7222523.609852.8773564.4872521.514852.8894565.9161519.886852.8785568.0575519.756252.76576569.7072521.043852.696712569.9

8、032523.181752.78985