决策分析（页）

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1、第三章效用、损失和风险(Utility,LossandRisk)本章主要参考文献：60,56,86,87,92,129,156,169,183,184§3-1效用的定义和公理系统一、引言•为什么要引入效用决策问题的特点：自然状态不确定一一以概率表示；后果价值待定：以效用度量。1.无形后果，非数字量（如信誉、威信、出门带伞问题的后果）需以数值度量；2.即使是数值量（例如货币）表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有1

2、0000元再增加100元的作用不同，这是钱的边缘价值问题。例二:上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义有人认为打赌不如礼品，即*由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述（表达）后果的实际价值，以便反映决策的人偏好次序（preferenceorder）的问题*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养,心理和生理（身体）状态有关。*除风险偏好之外，还时间偏好。i,折扣率ii,其他而效用（Utility）就是偏好的量化，是数（实值函数）.DanielBernoulli

3、在1738年指出:若一个人面临从给定行动集（风险性展望集）中作选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的偏好的期望值最高的行动。二、效用的定义1•符号i,AB(即APB)读作A优于B:(Prefer(ed)AtoB)AB(即ARB)A不劣于BA~B(即AIB)A无差别于B(Indifference)ii,展望(prospect):可能的前景即各种后果及后果出现概率的组合P=(〃i，Q；…；门，c,;...pnycn)既考虑各种后果(cons

4、equence)又考虑了各种后果的概率(probabilityorlikelihood)分布所有P的集合记作Piii,抽奖(lottery)与确定当量若G~(p,C2;(l-p),C3)则称确定性后果g为抽奖(p,c2；(i-p),c3)的确定当量2.效用的定义(A)在集合P上的实值函数u,若它和P上的优先关系一致，即:若从，几凸，"1PziffU(/?))>u(p2)则称u为效用函数三、效用存在性公理理性行为公理VonNeumann-Morenstern,1994[169]•公理1连通性(Connectivity)

5、又称可比性P,P2wP，则PlPlorPl~P2orPlPl•公理2传递性(Transitivity)円，"2,03wP,若"】p2,p2p3则从/?3•公理3替代性公理(加等量时优先关系不变)若〃

6、，卩2，〃3wP，PPi且Ovavl则对任何卩3€P，必有apt+(l-a)p3a/?2+(l-a)/?3或者表达成：Pip2,a>P贝Ua/?]+(l-a)p2p+(1-P)p2即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。•公理4连续性公理偏好的有界性若PPi1)3则存在0

7、-oo由PiPp1+(l-P)/73可知Pi不是无穷优，即u(/?!)

8、应，照b,c€P,b>()推广到一般，2小(pj则u(》A-p.)=/=

9、Savage的回答是A组宁择i,B组宁择ii,Allais指出:B组的i,ii,均以0.89的$500,000取代0.89的$0,公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系应当不变。Savage当时语寒。•效用的公理化定义在上述公理系统中，若P上存在实值函数u,使i,piR［打当且仅当u()>u(p.)ii.u(oi,p.;l-ct,pj)=au(pz)+(1-a)u()iii,对满足上述条件的«j,w2必有”i(p)=b“2(Pi)+c,其中则

10、u(P)称为(基数)效用函数*关于线性：将ii.u(a,p.;1-a,pj)=au()+(1-a)u()若Pj€P》0,i=l,2,..・m;y血=1;四、基数效用与序数效用(Cardinal&OrdinalUtility)基数：实数：1,2,3,tt序数：第一，二，…，4,3,2,1•区别：1.基数效用定义在展望集P上(考虑后果及其概率分布)