浅谈小球与均质自由杆的碰撞

《浅谈小球与均质自由杆的碰撞》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、浅谈“小球与均质自由杆的碰撞”学生：武健指导教师：赵丽云摘要指出了小球与均质自由杆的碰撞过程中所遵从的物理规律，分别讨论了完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞两种情况及对应的能量特征。关键词质点动量定理质心运动定理角动量定理完全弹性碰撞完全非弹性碰撞0引言在现有的物理学教材及文献中经常提及物理与定轴杆的碰撞问题，并以此作为角动量守恒的例证。但是在一般的情况下，对于物体与口由杆的碰撞问题，却鲜有论及。本文以小球与均质自由杆的碰撞为例，讨论了碰撞的结果及碰撞过程中所遵从的物理规律，并从能量的角度出发，进一步

2、明确完全非弹性碰撞的概念与特征。1相关理论1.1质点动量定理山于F=ma是瞬时关系式，对于某些力学问题，如冲击或碰撞等问题，只对它们的初态或末态感兴趣，并不需要研究中I'可过程的细节。在这种场合下，牛顿第二定律的积分形式可能更为方便。F对时间的积分，即A=pFdr,为力的冲量。将F=m—代入上式即得质点动量定理dr(1)式中p=mv为质点的动量。动量是矢量，是运动状态量。引入动量概念Z后，动量定理就町以表示为：质点所受合力的冲量等于质点动量的增量。1.2质心运动定理按质点系动量定理工F产2（»必

3、），用町表示各质点的位置矢量，气二空，有IX号（IX）用m表示质点系的总动量，此式乂可表示为导数运算符号后而的量具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空问点的位置，用D表示即—玉⑶m取7在宜角坐标系的投影，则乞=竝，比=竝，“=注（4）mmm（3）或（4）式所确定的空间点和质点系密切关联，叫作质点系的质量中心，〔和Xc，〉'c，Zc分别称为质心的位置矢量和质心坐标，它实际上是质点系质量分布的平均坐标。引入质心的概念后，（2）式变为(5)①称质心加速度。上式在直角地标系中的投影式为工耳严叫，工厲=

4、"叫，=fnacz它们具有与牛顿第二定律相同的形式，表明无论质点系怎样运动，质点系质最与质心加速度的乘积总是等于质点系所受一切外力的矢量和，叫作质点系的质心运动定理。将质心运动定理用于刚体，有1.3质点系的角动量定理设质点系内有“个质点，作川于任一个质点的力分为内力耳⑴与外力耳⑷。根据质点的角动量定理有?（〃忆）=Mo（砰））+Mo（巧⑷）at这样的方程共有”个，相加后得Z令M。（⑴）=工M。（耳⑴）+工M（）（巧®）上式屮右端第一项为作用于质点系内力对于点0矩的矢量和（内力对点0的主矩）；第二

5、项为质点系外力对于点0矩的矢量和，由于内力总是大小相等、方向相反地成对出现，因此工％碎））=0上式左端为Z詈M0（叫叫）=令工M。伽必）=声5于是得譽二工M。©）二（8）即质点系对任一固定点角动量对时间的一阶导数，等于作川在该质点系的外力对同一点矩的矢量和（外力对。的主矩），这就是质点系的角动量定理。将式（8）的两边投影到固定的直角坐标轴上，得即质点系对任一固定轴的角动量对时间的一阶导数，等于作用在该点的外力对同一轴矩的代数和。由质点系的角动量定理知，只有外力才能引起质点系角动量的改变，而内力不

6、能改变质点系的角动量。1.4质点系对质心的角动量定理和守恒定律现在研究质心参考系屮质点角动量的变化规律。设CxfyY即质心参考系，C为质心，/,#和z'坐标轴与惯性参考系Oxyz的x,y和z轴总保持平行，而质心具有加速度代。诸质点相对C系的角动量丿IJZ/表示，又用工M；表示作用于各质点诸力对0点外力矩的欠量和。此外，所有质点各受惯性力-nvaco根据M=-L,在考虑到诸质点所受惯性力的力矩，即得'表示质点，在Cx'y乞系中的位置矢量。式中惯性力矩乂可写作等式右边括号内为在质心系中质心的位置矢量

7、，当然为零。于是（10）变为此即质点系对质心的角动量定理。若工=0，则Z/=常矢量。意即，若作用于质心系上外力矩的矢量和为零，则质点系对质心的角动量守恒。2理论的具体应用设在光滑的水平而上有一质量为“、长为2/的均质细杆处于静止状态，一质量为®的小球以速度％与细杆垂直碰撞，如图1所示。文献［1］讨论了小球在细杆的一端和细杆碰撞的情况，下面讨论小球与细杆在细杆上任一点的碰撞情况。设碰撞后小球的速度为细杆质心的速度为匕，细杆转动的角速度为少。由于碰撞时小球和细杆Z间的相互作用力的方向是和细杆垂直的，

8、故〃、匕皆与细杆垂直。设小球与细杆碰撞时的相互作用力为F,相互作川时间为/,作川点与细杆中心的距离为兀。以%的方向为正方向，根据积分形式的质点动量定理、刚体质心运动定理和相对于质心的角动量定理得：JFxdr=/式（13）中的人为细杆对过其中心的垂直轴的转动惯量，显然,1「式（11）—式（14）对小球与细杆Z间不同类型的碰播都成立。1.1完全弹性碰撞完全弹性碰撞是碰撞前后小球和细杆组成的系统动能相等的碰撞，即1912】°1了2~m2V0=~tn2U"+~mVc由式（11）—式仃5）得9加2(1+