类比结构构造——类比探究（讲义及答案）

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1、□扌zl—扌zl看视频对答案类比结构构造一一类比探究我们定义:如图1,在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转a(0°<«<180°)得到AB把AC绕点A逆吋针旋转0得到AC,连接BC.当a+0=18O。时，我们称△4BC是/ABC的“旋补三角形”,边上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线"，点4叫做“旋补中心”・特例感知：(1)在图2、图3中，N4BC是/XABC的“旋补三角形”,AQ是△ABC的“旋补中线"・①如图2,当AABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；②如图3,当ZB4C二90。，BC=8吋，则AD的长为・猜想论证：(2)在图1中，当△ABC

2、为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.拓展应用(3)如图4,四边形ABCD,ZC=90。，ZD=150°,BC=12,CD=2^3,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是图3'FAB的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求△MB的“旋补中线”长；若不存在,B2.【探索发现】!如图1,是一张直角三角形纸片，ZB=90°,小明想从屮剪出[一个以ZB为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，:当沿着中位线DE,EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随i后，他通过证明验证了其正确性，并得岀：矩形的最大面积i与原三角形面积的比值为・[【拓展应用】j如图2,

3、在ZVIBC中，BC=a,BC边上的高AD二h,矩形PQMN:的顶点P,N分别在边AB,AC上，顶点Q,M在边BC上，

4、则矩形PQMN面积的最大值为（用含a,力的代j数式表示）.?【灵活应用】!如图3,有一块“缺角矩形”ABCDE,43=32,BC=40,AE=20,!CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ZB为所剪j出矩形的内角），求该矩形的面积.【实际应用】?如图4,现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm,:ABC=108cm,C£）=60cm,J=LtanB=tanC=—,木匠徐师傅从:3

5、这块余料中裁出了顶点M,N在边BC上且面积最大的矩

6、形!PQMN,求该矩形的面积.:PDBC图4DBC备用图2.折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步，对折矩形纸片ABCD(AB>BC)(如图1),使AB与DC重合，得到折痕EF,把纸片展平(如图2).第二步，如图3,再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点3,得到折痕BG,折出PB,PC,得到△PBC.ABG图1图2图3(1)说明△PBC是等边三角形.【数学思考】(2)如图4,小明画出了图3的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现，在矩形ABCD中把APBC经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.(3)已知

7、矩形一边长为3cm,另一边长为acm.对于每一：个确定的a的值，在矩形中都能画岀最大的等边三角形.请i画出不同情形的示意图，并写出对应的g的取值范围.i【问题解决】j(4)从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为4cm和ilcm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为i3.已知四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线交于点E・!(1)如图1,若ZABC=ZADC=90°,求证：EDEA=ECEB.：(1)如图2,若ZABC=120°,cosZADC=-,CD=5,AB二12,:5[ACD£的面积为6,求四边形ABCD的面积.j(2)如图3,另一组对边AB,DC

8、的延长线相交于点F.若；3cosZABC=cosZADC=-,CD=5,CF=ED=n,直接写出AD[5的长(用含〃的式子表示).i图1图22.已知RtAABC中，ZACB=90°,点D,E分别在BC,AC边上，连接BE,AD交于点P,设AC=kBD,CD=kAE,k为常数，试探究ZAPE的度数.(1)如图1,若心1,则ZAPE的度数为；(2)如图2,若k=品,试问(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求岀ZAPE的度数.(3)如图3,若k=晶,且D,E分别在CB,CA的延长线上，(2)屮的结论是否成立，请说明理由.图23.【发现】如图1,己知等边△/!

9、〃&将直角三角板的60。角顶点D任意放在BC边上（点D不与点3,C重合），使两边分别交线段AB,AC于点E,F.（1）若AB=6,AE=4,BD=2,贝ijCF=；（2）求证：'EBDsDCF・【思考】若将图1中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB,AC的两个交点E,F都存在，连接EF,如图2所示•问：点D是否存在某一位置，使ED平分ZBEF且FD平分ZCFE2若存在，求岀型的值；若不存在，请说BC明由.【探索】如图3,在等腰△ABC中，AB=AC,点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中ZMON=Z