信号检测与估计理论

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1、信号检测与估计第6章信号的波形估计（2）2021/9/2电子科技大学航空航天学院维纳（1894－1964），美国数学家，控制论的创始人。N.维纳对20世纪的数学发展作出了重大贡献。维纳14(15)岁大学毕业，18岁获哈佛大学哲学博士学位。此后到英国、德国，先后师从罗素、哈代、李特尔伍德和希尔伯特学习。1919年到麻省理工学院任教直至退休。20年代，他在布朗运动理论和位势理论研究方面作出了独创性的具有基本意义的贡献。30年代，他同E.霍普夫共同研究了一类给定在半无穷区间上的带差核的奇异积分方程，提出了维纳-霍普夫方法，现在这类方程称为维纳-霍普夫方程，其理论在多种

2、领域中得到应用。第二次世界大战期间，开始了创建控制论的工作。1948年出版了他的名著《控制论：或关于在动物或机器中通讯的科学》，对科学界产生了巨大的影响。几十年来，控制论得到了迅速发展，广泛应用于自动理论、计算机程序、决策过程等各个方面。1948年，美国科学家维纳发表《控制论》，遭到科学界的冷遇，37岁的钱学森却敏锐把握到这一理论的普遍意义，将这一新理论运用到自己的喷气技术研究。1954年，钱学森发表《工程控制论》一书，开创了一门新的技术科学。多年来，这本著作为世界各国科学家广为引证、参考，成为自动控制领域引用率最高的经典著作。6.2连续过程的维纳滤波维纳滤波也

3、称为最小平方滤波或者最佳滤波，其基本思想是要设计一个滤波器。一般是根据信号s(t)与噪声n(t)的时域或频域特性，选择适当的脉冲响应函数或系统函数，使得其滤波输出与期望输出之间的误差平方和最小（均方误差最小）。被噪声污染的信号波形恢复称为滤波。大家熟悉的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成，它对于滤去某些干扰频率谱线有较好的效果。对于混在随机信号中的噪声滤波，这种简单的滤波器就不是最佳的滤波电路，这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。如下图所示。不管滤波器具有什么样的频率响应K(j)，均不可能做到噪声完全滤掉，使信号波形的不失真恢复。因此，需要寻找一种使误

4、差最小的最佳滤波方法，又称为最佳滤波准则。维纳线性滤波理论是一种在最小均方误差准则下的最佳线性滤波方法。（维纳滤波发展的两个方向）由于维纳滤波器电路实现上的困难，在维纳滤波基础上发展了一种基于状态空间方法的最佳线性递推滤波方法，称为卡尔曼滤波。这种滤波器特别适用于对离散时间序列的实时滤波，可以很方便用计算机处理，因而是近代滤波理论的重要发展，在自动控制领域起到了重要作用。维纳滤波理论的另一发展方向是自适应滤波，它可以自动地调节其自身参数，在设计时，只需要很少的，或根本不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识。因此，目前在模型识别、通信信道的自适应均衡、生物医学信号

5、中周期干扰消除等方面均有重要应用。维纳滤波问题描述6.2.1最佳线性滤波维纳滤波最基本的概念：从信号加性噪声中尽可能完整地提取信号而最大限度地抑制噪声。实质上是研究维纳滤波器的设计问题。设观测信号为：其中，是有用信号；是观测噪声。我们可以对，，，等信号波形进行估计。为统一分析，将被估计信号波形统一记为，估计结果统一记为。最佳线性滤波问题，就是根据观测信号，按照线性最小均方误差准则，对进行估计，以获得波形估计的结果。设和都是零均值的随机过程，则的线性估计可以表示为其中，是时刻的采样，是加权系数。是采样的线性加权和。为使估计波形具有最小均方误差，由估计误差与观测信号

6、的正交性，有估计误差矢量由该式可以求出最佳加权系数，从而实现的线性最佳估计。的线性加权和表达式，可以用积分的形式表示：这说明，将随机信号输入具有时变脉冲响应为的线性滤波器，其输出为的估计为。线性时变滤波器为使估计的均方误差最小，利用正交性原理，即求解线性时变滤波器的脉冲响应。利用相关函数表示上式，得该式是实现信号波形线性估计，且均方误差最小的线性时变滤波器的脉冲响应应满足的积分方程。它能实现非平稳随机信号波形的线性最佳估计（但时变脉冲响应的解比较困难）。估计的均方误差就是估计误差的方差：6.2.2维纳—霍夫方程适用于非平稳随机信号波形最佳估计的线性时变滤波器的求

7、解困难。为获得实用的结果，进行必要的约束：设和都是零均值的平稳随机过程，且二者联合平稳；这意味着观测时间从开始，而且滤波器是线性时不变。考虑因果系统，滤波器在构造估计信号波形时，只用时刻及以前时刻的观测信号。这样，线性时不变滤波器的估计为线性时不变滤波器令，该式称为维纳—霍夫方程。它是信号波形线性最小均方误差估计的线性时不变滤波器的脉冲响应应满足的积分方程。这样的滤波器称为维纳滤波器，而由维纳滤波器获得信号波形估计，称为维纳滤波。估计误差的方差为所以，要实现维纳滤波，需要设计维纳滤波器，这就是维纳—霍夫方程的解。6.2.3维纳—霍夫方程的非因果解维纳—霍夫方程限

8、定（正半轴）,即维纳滤波