数分论文-数分论文

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1、浅谈墓级数的展开与应用摘要：通过学习幕级数的一些基本知识和泰勒公式，得出常用初等函数幕级数的展开式。幕级数在理论和实际中都冇很多应丿IJ,它结构简单，通过幕级数的展开式可以表示函数，利用幕级数和函数的分析性质，常常能够解决数学分析屮很多疑难问题。关键词：幕级数；泰勒公式；应用。幕级数是数学分析中的一个非常重要的内容，而H幕级数的应用也非常广泛，可以借助幕级数的展开形式很容易地解决一些较为复杂的问题。木文旨在研究幕级数的展开形式和探讨函数幕级数在某些问题解决中的应用。一、幕级数的一些基本知识1.幕级数定义1.1111:形

2、如£厲（尤一兀0）”=do+q（x-x（））+d2（兀一兀o）'4■…+（兀一心）"+…，n«O（%GR,h=0,1,2…）的函数项级数称为幕级数，它的i般项为an（X-Xo）n。当兀0=0时，有00=a0+a}x+a2x2+・・・+a“x"+・•・。n=02.幕级数的性质⑵由于工逐项求导，和逐项积分得到的两新的幕级数工叫严，工缶〃1的收敛半径为原幕级数收敛半径和同，而工咛”在收敛区间（-R,R）内是内闭一致收敛的，所以其和两数是在（・RR）上连续、可积、可导且具有任意阶的连续导数。3.和函数的求法⑵（1）和函数与幕级

3、数系数的关系：f（x）=YallX则°,严£如，心0,1,2…。n（2）记住6个基木初等函数的幕级数：①（-co,+oo）；71=0巾•（2）sinx扌（-1）"F曲（2n+l）!00/1V宀（3）cosx=f丿—,xe（一oo,+oo）；幺（2n）!I7—0f-1V1YW%1ln（l+x）=£—，xg（-1,1]:n=1n%1叶,1+£叱一1）丫一小）宀xe（-l,l）；n=l卅!1处%1-—二工兀"‘xw（T,l）。1吠”=o（3）利用逐项求导或逐项积分的方法，将所给的幕级数化为上述六种级数Z—,写岀初等函数形

4、式，然后将各步逆回，即可得到和函数的初等函数表达式。1.幕级数展开形式定理2.1⑴（泰勒公式）：若函数f（x）在点兀。的某领域内存在直至n+1阶的连续导数,则★（兀）=/（%）+广（％）（兀-兀0）+"$）（兀-％丫+•••+"fl（兀-兀。）"+心（刃（*），这里心⑴为拉格朗口型余项心⑴二X。厂,其中§在;V与间，称（*）式为/（X）在心W+1丿.的泰勒公式。如果两数/（X）在"X。处存在任意阶的导数，这是称形式为/（•%）+广（勺）（兀-兀0）+/"）（X-Xo）2+•••+/[J（x_Xo）"+…的级数为函数/

5、（X）在X（）的泰勒级数。定理2.2卩设/（x）在点兀。具有任意阶导数,那么/（x）在区间（x0-r,x0+r）内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一•切满足不等式卜-对＜厂的兀，有lin}/?n（x）=0,这里Rtl（x）是f（x）在x0的泰勒公式余项。如果/（X）能在X。的某领域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数/（X）在X。的这一领域内可以展开成泰勒级数，并称等式/（兀）=/（切+广比）（兀-勺）+'[："（x-x（））2+-•+，W（X-Xo）"+•••的右边为/（^）在Z!n:x=x0处的泰勒展开式，或

6、称帚级数展开式。二、幕级数在某些问题解决中的应用1.计算函数的近似值冇了函数的幕级数展开式，就可以用它来进行近似计算，即在展开式的冇效区间上，函数优町以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来。例1:计算庞的近似值。解:杜的麦克劳林展开式中,令七,得11(1丫13!(2—«1.648o其误差[e=e2=1+—+22!⑵值，[e«1+—+丄+丄+24483841⑴r=——5!(2丿£6!<27!辽丿1+116(2丿16・6⑵2+…]1i

7、/⑴的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，计算/(x)的定积分就遇到了困难。现在，可以利用幕级数取有限项的办法近似计算这些定积分的值。具体计算时，当然耍求被积函数能够展成收敛的幕级数，几积分限必须在幕级数的收敛域Z内，然后利用逐项积分來计算所求定积分的值。例2：证明『sin/(_])”严(2/?+1)(2/?+!)!证明:8因为sinx=》(-1)”w=0宀I⑵?+1)!所以+£(£+••++(£+…。叹前5项作为运的近似33!5・5!(2n+l)(2n+l)!3.计算级数的和利川幕级数的性质：幕级数在收敛区间内

8、町逐项求导与逐项积分町计算幕级数的和。例3：求级数V—的和。台S+1)!解：令/sr乞厂+"佃＜+°°)，则由幕级数逐项微分的性质可知：n=l(X+ij・n=lS+l)!=±xn,从而小L£巴#n=lX/i=l“・J山幕级数逐项积分的性质有:『^1^=£了-加=£斗“一］，所以广⑴二加，tn=l"・n=l斤・x于是/⑴叮广⑴力訂*