芝诺悖论的极限分析

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1、芝诺悖论的极限分析学生姓名：王慧文指导教师：岳进摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些谬论。在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。在哲学方面违反了辩证法的客观性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算，揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错

2、误。关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断引言：数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态，它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾，对于这一矛盾的处理与研究，丰富了数学的内容，促进了数学的发展。芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前，你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境，所以在任何一定的空间小都有无穷个点，你不能在有限的时间小一个接一个地接触无穷个点。运动只是假象，不动不变才是真实。假如承认冇运动，就得承认速度最快的赶不上速度授慢的”，即快

3、的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处,的所经过的每个出发点，而当它到达笫一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。木论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。1、悖论对数学产生的作用1.1从悖论说起什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛厉，也属于思想方法上的矛盾。简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出

4、它为真叫悖论往往以逻辑推理为手段，深入到原理论的基础Z中深刻地揭露出该理论体系屮的无法回避的才厉，所以它的出现必然导致现存理论体系的危机。1.2数学悖论及其引发的是三次数学危机数学悖论作为悖论的一种，主要产牛在数学研究屮。数学悖论，是指在数学领域屮既有数学规范中无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾能够在新的数学规范中得到解决。数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本才盾。这些矛盾促使数学的大发展，数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的。1.2.1第一次数学危机的产生及其影响希帕索斯悖论导致数学史上的第一次危机。公元前5世纪，毕达哥拉斯学

5、派的成员希帕索斯发现等腰直角三角形一斜边与直角边的比不能归结为整数或整数之比⑵，这一发现严重地触犯了毕达哥拉斯学派的信条，在当时它直接导致了认识上的危机，希帕索斯的这个发现史称希帕索斯悖论，从而引发了数学史上的第一次危机。在那以前，人们仅认识到白然数和有理数，有理数理论成为在当时占统治地位的数学规范，希帕索斯发现的无理数，披露了原有数认识，学规范的局限性，由此看来，希帕索斯悖论是由于主观认识上的错误造成的。希帕索斯的发现，促使人们对无理数的认识，也告诉人们直觉和经验不一定是対的，而推理和证明才是可靠的。但是，由于生产和科学技术的发展水平，毕达哥拉斯学派

6、及此后的古希腊的数学家们没有也不可能建立严格的无理数理论，从而开始了儿何优先发展的时期，在此后多年，希腊的儿何学几乎成了全部数学的基础。1.2.2第二次数学危机的产生及其影响第二次数学危机主要涉及微积分理论，而其理论基础是建立在无穷小分析Z上的在实际应用中，无穷小分析必须既是零，乂不是零，以求速度为例，瞬时速度是△$/△—当变成零时的值。△t既等于零又不等于零，当时的英国大主教对当时的微枳分学说进行了猛烈的抨击，他说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并尺所得到的结果实际上是依靠双重错误得到不科学却正确的结果这是因为错误互相抵偿

7、的缘故在数学史上，称之为贝克菜悖论⑶。这一悖论的发现，导致了数学史上的第二次危机，引起人们对微积分基础理论的争论。贝克莱悖论提出以后许多著名数学家试图把微积分重新建立在可靠的基础Z上，法国数学家柯西建立起以极限为基础的现代微积分体系，但柯西的体系仍有尚待改进处，比如他关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、儿何直观的东西，缺乏实数理论，法国数学家魏尔斯特拉斯是数学分析茶础的主要奠基者之一，首次MJ£-8方法叙述了微积分中一系列重耍概念如极限、连续导数、和积分等,建立了该学科的严格体系。1.2.3三次数学危机的产生及其响严格的实数理论和极限理论的建立，上述两

8、次数学危机得到了解决，但是，由于严格的实数理论和极限理论都是以集合论为基础的，因而山集合论悖论