专题训练—数列之数列求和

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1、专题训练—数列之数列求和1．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2．2．(2013·江西高考)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.3．数列中，，.(1)证明：数列的是等比数列；(2)求数列的前项和.4．已知等差数列满足.(1)求的通项公式；(2)数列满足,为

2、数列的前项和，求.5．数列中，.(1)设，求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.6．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)，数列{bn}满足bn＝bn－1－(n≥2)，且b1＝3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝an·log2(bn＋1)，其前n项和为Tn，求Tn.7．(2013·合肥模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＋3＝3an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求证：Tn<(n∈N*)．8．数列是等差数

3、列，其前项和为，是等比数列，且，，.(1)求数列与的通项公式；(2)记，，求.9．已知在公差不为零的等差数列与等比数列中，，，.(1)求数列与的通项公式；(2)设数列满足：，且恒成立，求实数取值范围.参考答案1．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.解：(1)设{an}的公差为d.由题意a＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－

4、2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.2．(2013·江西高考)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.[规范解答]　(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－

5、(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)证明：由于an＝2n，故bn＝＝………………………………①＝，………………………………………②Tn＝－＝<＝.………………………③故对于任意的n∈N*，都有Tn<.…………………………④3．数列中，，.(1)证明：数列的是等比数列；(2)求数列的前项和.4．已知等差数列满足.(1)求的通项公式；(2)数

6、列满足,为数列的前项和，求.解：(1)(2)数列的前项和中，奇数项和偶数项各有项当为奇数时，首项是1，公比是4的等比数列当为奇偶时，首项是1，公差是4的等差数列5．数列中，.(1)设，求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.6．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)，数列{bn}满足bn＝bn－1－(n≥2)，且b1＝3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝an·log2(bn＋1)，其前n项和为Tn，求Tn.解：(1)对于数列{an}有Sn＝(an－1)，①Sn－1＝(an－1

7、－1)(n≥2)，②由①－②得an＝(an－an－1)，即an＝3an－1，[来源:Zxxk.Com]n＝1时，由S1＝(a1－1)，得a1＝3，则an＝a1·qn－1＝3·3n－1＝3n.对于数列{bn}有bn＝bn－1－(n≥2)，可得bn＋1＝bn－1＋，即＝.bn＋1＝(b1＋1)n－1＝4×n－1＝42－n，即bn＝42－n－1.(2)由(1)可知[来源:Zxxk.Com]cn＝an·log2(bn＋1)＝3n·log242－n＝3n·log224－2n＝3n(4－2n)．Tn＝2·31＋0·32＋(－2)·33＋…

8、＋(4－2n)·3n，③3Tn＝2·32＋0·33＋…＋(6－2n)·3n＋(4－2n)·3n＋1，④由③－④得－2Tn＝2·3＋(－2)·32＋(－2)·33＋…＋(－2)·3n－(4－2n)·3n＋1＝6＋(－2)(32＋33＋…＋3n)－(4－2n)·3n＋1.则Tn＝