同济大学高等数学 第六版 第十二章答案分享

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1、总习题八1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f(x,y)在(x,y)可微分是f(x,y)在该点连续的______条件,f(x,y)在点连续是f(x,y)在该点可微分的______条件.解充分;必要.(2)z=f(x,y)在点(x,y)的偏导数及存在是f(x,y)在该点可微分的______条件,z=f(x,y)在点(x,y)可微分是函数在该点的偏导数及存在的______条件.解必要;充分.(3)z=f(x,y)的偏导数及在(x,y)存在且连续是f(x,y)在该点可微分的______条件.解充分.(4)函数z=f(x,y)的两个二阶偏导

2、数及在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的______条件.解充分.2.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义,且fx(0,0)=3,fy(0,0)=-1,则有______.(A)dz

3、(0,0)=3dx-dy.(B)曲面z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的一个法向量为(3,-1,1).(C)曲线在点(0,0,f(0,0))的一个切向量为(1,0,3).(D)曲线在点(0,0,f(0,0))的一个切向量为(3,0,1).解(C).3.求函数的定义域,并求.解函数的定义域为{(x,y)

4、0

5、,y2£4x}因为,故由初等函数在定义域内的连续性有.4.证明极限不存在.解因为,,所以不存在.5.设,求fx(x,y),fy(x,y).解当x2+y2¹0时,.当x2+y2=0时,.因此,.6.求下列函数的一阶和二阶偏导数:(1)z=ln(x+y2);解,,,,(2)z=xy.解,,,,.7.求函数当x=2,y=1,Dx=0.001,Dy=0.03时的全增量和全微分.解.因为,,,,所以.8.设,证明f(x,y)在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微分.证明因为,且,所以,即f(x,y)在点(0,0)处连续.因为,,所以f(x,y)在点(0,0)处的偏导数存在.因为,,

6、所以f(x,y)在点(0,0)处不可微分.9.设u=xy,而x=j(t),y=y(t)都是可微函数,求.解.10.设z=f(u,v,w)具有连续偏导数,而u=h-x,v=z-x,w=x-h,求,,.解,,.11.设z=f(u,x,y),u=xey,其中f具有连续的二阶偏导数,求.解,.12.设x=eucosv,y=eusinv,z=uv,试求和.解,.而由x=eucosv,y=eusinv得,解得,,从而,,,.因此,.另解由x=eucosv,y=eusinv得,解得,.又由z=uv得,从而,.13.求螺旋线x=acosq,y=asinq,z=bq在点(a,0,0)处的切线及

7、法平面方程.解点(a,0,0)对应的参数为q=0,所以点(a,0,0)处的切向量为,所求的切线方程为,法平面方程为a(y-0)+b(z-0)=0,即ay+bz=0.14.在曲面z=xy上求一点,使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0,并写出这法线的方程.解已知平面的法线向量为n0=(1,3,1).设所求的点为(x0,y0,z0),则曲面在该点的法向量为n=(y0,x0,-1).由题意知n//n0,即,于是x0=-3,y0=-1,z0=x0y0=3,即所求点为(-3,-1,3),法线方程为.15.设el=(cosq,sinq),求函数f(x,y)=x2-xy-y2在点(1

8、,1)沿方向l的方向导数,并分别确定角q,使这导数有(1)最大值,(2)最小值,(3)等于0.解由题意知l方向的单位向量为(cosa,cosb)=(cosq,sinq),即方向余弦为cosa=cosq,cosb=sinq.因为fx(1,1)=(2x-y)

9、(1,1)=1,fy(1,1)=(-x+2y)

10、(1,1)=1,所以在点(1,1)沿方向l的方向导数为.因此(1)当时,方向导数最大,其最大值为;(2)当时,方向导数最小,其最小值为;(3)当及时,方向导数为0.16.求函数u=x2+y2+z2在椭球面上点M0(x0,y0,z0)处沿外法线方向的方向导数.解椭球面上点M0(x

11、0,y0,z0)处有外法向量为,其单位向量为.因为ux(x0,y0,z0)=2x0,uy(x0,y0,z0)=2y0,uz(x0,y0,z0)=2z0,所以,所求方向导数为.17.求平面和柱面x2+y2=1的交线上与xOy平面距离最短的点.解设M(x,y,z)为平面和柱面的交线上的一点,则M到xOy平面的距离为d(x,y,z)=

12、z

13、.问题在于求函数f(x,y,z)=

14、z

15、2=z2在约束条件和x2+y2=1下的最不值.作辅助函数:.令,解方程组得,,.因为可能的极值点只有这一个,所以这个点就是所求之点.