大学自主招生数学讲义：【精品讲义】解析几何

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1、2017年自招与三位一体专题第十五讲解析几何一在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。一、知识精讲1.点到直线的距离：(点,直线：).2.圆的四种方程（1）圆的标准方程.（2）圆的一般方程(＞0).（3）圆的参数方程.（4）圆的直径式方程(圆的直径的端点是、).3.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.4.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:①

2、;②;③.其中.5.椭圆的参数方程是.6.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）.[来源:学科网ZXXK]7.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或（1.三角形四心的坐标设三边的长度分别为a,b,c，三个顶点A、B、C的坐标分别记为、、，则重心G、内心I、垂心H、外心O坐标分别为、、、。2.直线系若直线与直线相交于P，则它们的线性组合（，且不全为0）（*）表示过P点的直线系。当参数为一组确定的值时，（*）表示一条过P点的直线。特别的，当时，（*）式即

3、；当时，（*）式即为。对于以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1.又若与平行，这时（*）式表示所有与平行的直线。3.圆幂定理：过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等，即它们的积为定值.►备注：切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为，圆半径为，则这个定值为.①当定点在圆内时，，等于过定点的最小弦的一半的平方；②当定点在圆上时，；③当定点在圆外时，，等于从定点向圆所引切线长的平方.特别地，我们把称为定点对于圆的幂.4.两圆的“根轴”：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的

4、一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线．这条直线称为两圆的“根轴”．►对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．5.各曲线的定义：（1）椭圆：；（2）双曲线：；（3）抛物线：．6.圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为一个常数的点的轨迹叫做圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）．当时，曲线是椭圆；当时，曲线是双曲线；当时，曲线是抛物线．这个定点叫做曲线的焦点，定直线叫做

5、曲线的准线，定点到定直线的距离叫做焦参数．[来源:Z&xx&k.Com]7.圆锥曲线的标准方程：（1）椭圆：，；（2）双曲线：，（）；（3）抛物线：，，，（）．►备注：比值叫圆锥曲线的离心率，其中。三、典例精讲例1．（2011复旦）椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值是（）。（A）11（B）（C）（D）►分析与解答：由平面几何知识，椭圆上的点到圆上的点的距离最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。设圆圆心为，是椭圆上的点，则（当时取等号）。故所求距离最大值为11.►注：或者考虑与的相交情况，用判别式法解决。例2．（2012“卓越联盟”）抛物线，为抛物线的焦点，

6、是抛物线上两点，线段的中垂线交轴于，，。（1）证明：是的等差中项；（2）若，为平行于轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线的方程。►分析与解答：（1）设，由抛物线定义知。[来源:学科网]又中垂线交轴于，故，因为，所以，，故，是的等差中项。（2）因为，所以。设，。圆心。设直线的方程为。由于弦长为定值，故为定值，这里R为圆的半径，d为圆心到的距离。。令，即时，为定值，故这样的直线的方程为。例3．（2006复旦）已知抛物线，直线都过点且互相垂直。若抛物线与直线中至少有一条相交，求实数的取值范围。►分析与解答：先看的情形，如图13-8，显然，无论在抛物线形

7、内，还是在形外。与始终至少有一条相交，故符合题意。若，过作抛物线的切线，设这两条切线的张角为。若，则我们总可以找出两条互相垂直的直线，使这两条直线与不相交，（如图13-9）；若，则过的两条直线中，必有一条与相交（如图13-10）。图13-8图13-9图13-10于是，原问题转化为如下一个问题：过作抛物线的切线，这两条切线对抛物线的张角。设过的切线方程为，由，知。令。设方程两根为，则。由韦达定理，，故。综上，的取值范围是。例4．设，常数，定义运算“”：，定义运算“”：；对于两点、，定义.(1)若，求动点的轨迹；(2)已知直线与(1)中轨迹交于、两点，若，试求的值；