资源描述：
《线性空间和欧式空间》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、.第六章线性空间和欧式空间§1线性空间及其同构一线性空间的定义设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为。在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。加法满足下面四条规则：1）；交换律2）；结合
2、律3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；存在零元4）对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得（称为的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）；存在1元6）.数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）；数的分配律8）.元的分配律在以上规则中，表示数域中的任意数；等表示集合V中任意元素。例1．元素属于数域K的矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为。例2．全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一
3、个实数域上的线性空间。例3．维向量空间是线性空间。word资料.例1．向量空间的线性映射的集合是线性空间。二．简单性质1．零元素是唯一的。2．负元素唯一。3．，，。4．若，则或者。三.同构映射定义：设是数域上的线性空间.是一个线性映射.如果是一一映射，则称是线性空间的同构映射，简称同构。线性空间与称为同构的线性空间。定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。§2线性子空间的和与直和子空间的和：设是线性空间的子空间，则集合也是一个线
4、性子空间，称为的和，记为.两个线性子空间的和是包含这两个线性子空间的最小子空间.满足交换律、结合律设与是V的两个向量组.则线性子空间中的线性无关向量组都能被扩充成这个子空间的一个基。定理：（维数公式）如果是线性空间的两个子空间，那么+=+由此可知，和的维数要比维数的和来得小。推广到有限个线性子空间的和空间维数word资料.推论：如果维线性空间中两个子空间的维数之和大于，那么必含有非零的公共向量。直和：设是线性空间的子空间，如果中的每个向量都能被唯一地表示成.则称为直和，记为。设是线性空间的子空间，则下列结论
5、互相等价：设是线性空间的一个子空间，那么一定存在的一个线性子空间，使得满足上述条件的线性子空间称为的补子空间.推广到有限多个线性子空间也可以定义它们的直和§3欧式空间定义设是实数域上的有限维线性空间,在上定义了一个二元实函数，称为内积,记作,满足以下四条公理:1)对称性;2)关于标量乘法线性性质;3)关于向量加法的线性性质;4)正定性,当且仅当时,这里是任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间.例1在线性空间中,对于向量word资料.,定义内积(1)则内积(1)适合定义中的条件，这样就成为一个
6、欧几里得空间.时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2在里,对于向量,定义内积则内积(1)适合定义中的条件，这样就也成为一个欧几里得空间.对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.例3在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中,对于函数定义内积.(2)对于内积(2)，构成一个欧几里得空间.同样地，线性空间对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4令是一切平方和收敛的实数列所成的集合,则是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.定义非负实数称为向量的长
7、度，记为.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：(3)这里.长度为1的向量叫做单位向量.如果,由(3)式，向量word资料.就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，通常称为把单位化.(Cauchy-Buniakowski不等式)对任意的向量有而且等号成立当且仅当线性相关.(保证向量夹角定义的合理性)定义非零向量的夹角规定为根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式.定义如果向量的内积为零，即那么称为正交或互相垂直，记为.两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为.
8、只有零向量才与自己正交.勾股定理：当正交时，推广：如果向量两两两正交，那么.称为基的度量矩阵.度量矩阵完全确定了内积.标准欧式空间(其内积关于自然基的度量矩阵是n阶单位阵)word资料.定义欧氏空间的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.在维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过个.正交向量组一定是线性无关的。若正交向量组中的向量都是单位向量，则称为规范
