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1、矩阵乘积的特征值的性质数学与应用数学专业学生：欧可文指导老师：周惊雷摘要:矩阵乘积的特征问题是数值计算的一个重要组成部分，也是当前迅速发展的计算机科学和数值代数中一个活跃的研究课题。随着计算科学的发展和并行计算机的出现,矩阵特征问题已成为大规模和超大规模计算机的主要任务之一。本文讨论了矩阵乘积的特征值与奇异值密切相关的几个方面，以及当矩阵Hermite矩阵时它们乘积的特征值与奇异值的关系，并得到了一些有意义的结果，这些结果都是在原有的基础之上的进一步推广，最后利用原有结果，证明了两个非负定矩阵与两个矩阵乘积特征值之间的不等式,得出了一系列新的结论。关键词：Hermite矩阵，非负定矩阵，特
2、征值，奇异值Abstract：Thecharacteristicsofmatrixproductnumericalcalculationplaysanimportantpartofnumericalcalculation.Inaddition,itisalsoanactiveresearchsubjectofcomputerscienceandnumericalalgebra・Withthedevelopmentofcomputerscienceandtheadventofparallelcomputing,matrixeigenproblemhavebecomeoneofthechief
3、tasksofthelarge-scalecomputers.scientificcomputing,Inthispaper,somefurtherproblemsrelatedlinearmodelarediscussedandgetsomemeaningfulresultsinthematrixtheory.Thoseresultsaregeneralizedbasedontheoriginalresultsandalsodiscusstheproblemofmatrixeigenvalueandsingularvalueinmatrixalgorithm.Keywords:Hermi
4、tematrix,Positivesemidefinitematrix,Eigenvalue,Singularvalue.0引言对于矩阵乘积的特征值研究无论是在理论上还是在应用上都有极其重耍的意义，冃己有大量的研究文献。其中，主要包扌舌两方面的工作:一方面是利用容易刻划的有界集来估计一个矩阵的特征值，；另一方面是以变分原理为基础得到的关于对称矩阵特征值的精确表达式，矩阵最小奇异值的下界估计是矩阵分析小的重要课题Z-O迭代求解线性方程组是计算数学的一个中心问题。在迭代求解线性方程组时，往往需要估计系数矩阵的谱条件数，这就需要用到最小奇异值。最小奇异值的下界估计在其他许多领域屮也是一个极重要的
5、课题，因而有很重要的理论和实际应用价值。木文就原来得出的矩阵乘积的特征值与奇异值的四个结论为基础，进一步推导得出儿个不等式，也对当两个矩阵为Hermite矩阵时，两个矩阵乘积的特征值和奇异值有什么关系得出儿个结论，最后结合例子来证明它的优越性。1矩阵乘积的特征值与奇异值的一些基本性质设HwC^，其屮表示复数域上兀阶方阵所构成的集合。我们把矩阵丹的特征值(如为实数)排列为：入(H)n・・—(H)把一般矩阵AeCnxn的奇异值排列为5(A)>...>6(A)对于两个非负定矩阵G与H乘积的特征值，在文献［1］有如下不等式：乞入(GH)»=1,…屮『=】pi(1)我们把要用到的一些己知结果写成引理
6、的形式.引理1.1EU设是H€Cnxn厄米特矩阵，即H=H12n_i+l(H)J=1,…伙引理1.4[3]设H*=HgCwxw,VgCnxk,则工人"(H)人(UW)F=1kk引理1.5［4］设西>
7、...>%z,>0,y{>...>儿》0,口满足仃不=l,...,n,则有i=li=lkk工兀5工川=1,…/?=11=12矩阵乘积的特征值与奇异值性质的推广.定理2.1设G,HwC“"是非负定矩阵,
